Bài 14: Các số đặc trưng đo độ phân tán

1. Kiến thức trọng tâm

Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm chưa cho biết các giá trị phân tán quanh giá trị trung tâm như thế nào. Ta dùng các số đặc trưng đo độ phân tán.

Khoảng biến thiên $R = x_{\max} - x_{\min}$ là hiệu giữa giá trị lớn nhất và nhỏ nhất. Khoảng biến thiên càng lớn thì mẫu càng phân tán, nhưng nó chỉ phụ thuộc vào hai giá trị cực trị nên dễ bị ảnh hưởng bởi giá trị bất thường.

Khoảng tứ phân vị $\Delta_Q = Q_3 - Q_1$ đo độ phân tán của $50$ dữ liệu ở giữa mẫu, ít chịu ảnh hưởng của giá trị ngoại lệ hơn khoảng biến thiên.

Phương sai $s^2$ đo mức độ phân tán trung bình của các giá trị quanh số trung bình:

$$s^2 = \frac{(x_1 - \bar{x})^2 + (x_2 - \bar{x})^2 + \cdots + (x_n - \bar{x})^2}{n}.$$

Độ lệch chuẩn $s = \sqrt{s^2}$ có cùng đơn vị với dữ liệu nên dễ cảm nhận và so sánh hơn phương sai. Mẫu có độ lệch chuẩn càng lớn thì các giá trị càng phân tán xa số trung bình.

Trong thực tế, khi so sánh hai mẫu có cùng đơn vị, ta ưu tiên dùng độ lệch chuẩn. Khi so sánh các mẫu có đơn vị khác nhau hoặc số trung bình khác nhau nhiều, người ta dùng hệ số biến thiên $\dfrac{s}{|\bar{x}|}$.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ. Hai bạn An và Bình có điểm các bài kiểm tra lần lượt là $7, 8, 9$ và $5, 8, 11$. So sánh độ phân tán.

Lời giải: Cả hai đều có $\bar{x} = 8$. Phương sai của An: $s^2 = \dfrac{1 + 0 + 1}{3} = \dfrac{2}{3}$. Phương sai của Bình: $s^2 = \dfrac{9 + 0 + 9}{3} = 6$. Điểm của Bình phân tán hơn điểm của An.

3. Ghi nhớ

• Khoảng biến thiên $R = x_{\max} - x_{\min}$; khoảng tứ phân vị $\Delta_Q = Q_3 - Q_1$.
• Phương sai $s^2 = \dfrac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n}$; độ lệch chuẩn $s = \sqrt{s^2}$.
• Độ lệch chuẩn càng lớn thì dữ liệu càng phân tán quanh số trung bình.
• Khoảng tứ phân vị ít bị ảnh hưởng bởi giá trị ngoại lệ hơn khoảng biến thiên.