Bài tập — Bài 2: Công thức lượng giác

Phần 1: Câu hỏi Trắc nghiệm (Nhận biết & Thông hiểu)

Câu 1. Nội dung nào sau đây phản ánh đúng kiến thức cần ghi nhớ trong bài Bài 2: Công thức lượng giác? A. Bỏ qua các khái niệm cơ bản và chỉ học thuộc lòng kết quả cuối cùng mà không cần hiểu bản chất. B. Chỉ áp dụng kiến thức trong một trường hợp duy nhất, không cần kiểm tra điều kiện hay đơn vị. C. Các nội dung trong bài hoàn toàn độc lập và không có mối liên hệ nào với thực tiễn hay các bài học khác. D. Nhớ công thức cộng cho $\sin$ và $\cos$ trước, các công thức còn lại đều suy ra từ đó.

Câu 2. Khi học và vận dụng bài Bài 2: Công thức lượng giác, khẳng định nào dưới đây là chính xác? A. Công thức nhân đôi thường dùng để hạ bậc: $\sin^2 a = \frac{1 - \cos 2a}{2}$, $\cos^2 a = \frac{1 + \cos 2a}{2}$. B. Không cần đọc kĩ đề bài hay phân tích dữ kiện trước khi thực hiện các bước giải. C. Mọi khái niệm trong bài đều có thể thay thế tùy ý cho nhau mà không làm thay đổi kết quả. D. Chỉ cần ghi đáp số ngắn gọn, bỏ qua toàn bộ bước lập luận, giải thích và kiểm tra lại.

Câu 3. Theo phần Kiến thức trọng tâm của bài Bài 2: Công thức lượng giác, phát biểu nào sau đây là đúng? A. Kết luận ngay kết quả khi chưa đối chiếu với quy tắc hoặc định nghĩa trong bài học. B. Công thức cộng là công thức nền tảng của lượng giác: $\cos(a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b$, $\cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$, $\sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$, $\sin(a - b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b$. C. Thay đổi toàn bộ quy tắc trọng tâm của bài học theo cảm tính cá nhân. D. Bỏ qua việc rèn luyện qua ví dụ minh họa và bài tập thực hành của tiết học.

Câu 4. Để nắm vững và vận dụng tốt bài Bài 2: Công thức lượng giác, học sinh cần lưu ý điều nào sau đây? A. Không cần ghi nhớ các lưu ý trọng tâm vì chúng không ảnh hưởng đến việc làm bài tập. B. Áp dụng ngược lại hoàn toàn so với quy tắc và hướng dẫn trong phần kiến thức trọng tâm. C. Công thức biến đổi tích thành tổng: $\cos a \cos b = \frac{1}{2}[\cos(a + b) + \cos(a - b)]$, $\sin a \sin b = \frac{1}{2}[\cos(a - b) - \cos(a + b)]$, $\sin a \cos b = \frac{1}{2}[\sin(a + b) + \sin(a - b)]$. D. Chỉ cần đọc lướt tiêu đề bài học mà không cần nắm vững nội dung chi tiết từng mục.

Phần 2: Bài tập Tự luận & Thực hành theo tiết học

Bài 1 (Cơ bản — Hệ thống hóa kiến thức trọng tâm). Dựa vào phần Kiến thức trọng tâm của bài Bài 2: Công thức lượng giác, em hãy trình bày các khái niệm, quy tắc hoặc nội dung cốt lõi của tiết học và nêu ý nghĩa của chúng.

Bài 2 (Thực hành — Phân tích & Giải mẫu theo ví dụ tiết học). Đọc kĩ tình huống/ví dụ trọng tâm của tiết học dưới đây, sau đó tự trình bày lại các bước thực hiện và nêu nhận xét rút ra:

Ví dụ. Tính $\sin 75^\circ$.

Bài 3 (Vận dụng — Áp dụng quy tắc ghi nhớ vào bài tập). Vận dụng các điểm ghi nhớ trọng tâm của bài Bài 2: Công thức lượng giác để giải thích hoặc thực hiện yêu cầu thực hành mở rộng sau:

Lời giải. Ta viết $75^\circ = 45^\circ + 30^\circ$, nên $\sin 75^\circ = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$.

Bài 4 (Luyện tập học kì — Mức độ Cơ bản). Giải phương trình $\cos x = 1$.

Bài 5 (Luyện tập học kì — Mức độ Thông hiểu). Giải phương trình $\tan x = 0$.

Bài 6 (Luyện tập học kì — Mức độ Vận dụng & Nâng cao). Giải phương trình $\sin x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

Phần 3: Đáp án & Hướng dẫn giải chi tiết

1. Đáp án phần Trắc nghiệm

• Bảng đáp án: 1-D, 2-A, 3-B, 4-C.
• Giải thích chi tiết:
  • Câu 1 (D): Khẳng định đúng theo mục Ghi nhớ của bài: "Nhớ công thức cộng cho $\sin$ và $\cos$ trước, các công thức còn lại đều suy ra từ đó."
  • Câu 2 (A): Khẳng định đúng theo nội dung cốt lõi của tiết học: "Công thức nhân đôi thường dùng để hạ bậc: $\sin^2 a = \frac{1 - \cos 2a}{2}$, $\cos^2 a = \frac{1 + \cos 2a}{2}$."
  • Câu 3 (B): Khẳng định chuẩn xác theo phần Kiến thức trọng tâm: "Công thức cộng là công thức nền tảng của lượng giác: $\cos(a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b$, $\cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$, $\sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$, $\sin(a - b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b$."
  • Câu 4 (C): Khẳng định đúng theo hướng dẫn trọng tâm của bài: "Công thức biến đổi tích thành tổng: $\cos a \cos b = \frac{1}{2}[\cos(a + b) + \cos(a - b)]$, $\sin a \sin b = \frac{1}{2}[\cos(a - b) - \cos(a + b)]$, $\sin a \cos b = \frac{1}{2}[\sin(a + b) + \sin(a - b)]$."

2. Hướng dẫn giải phần Tự luận & Thực hành

• Bài 1:
  • Nội dung cốt lõi cần trình bày: Công thức cộng là công thức nền tảng của lượng giác: $\cos(a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b$, $\cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$, $\sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$, $\sin(a - b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b$. Từ công thức cộng suy ra công thức nhân đôi: $\sin 2a = 2\sin a \cos a$, $\cos 2a = \cos^2 a - \sin^2 a = 2\cos^2 a - 1 = 1 - 2\sin^2 a$.
  • Tổng kết ghi nhớ: Nhớ công thức cộng cho $\sin$ và $\cos$ trước, các công thức còn lại đều suy ra từ đó.; Công thức nhân đôi thường dùng để hạ bậc: $\sin^2 a = \frac{1 - \cos 2a}{2}$, $\cos^2 a = \frac{1 + \cos 2a}{2}$.; Khi biến đổi tổng thành tích, đặt $u = \frac{a + b}{2}$, $v = \frac{a - b}{2}$ để tránh nhầm lẫn.
• Bài 2:
  • Hướng dẫn phân tích & trình bày: Dựa trực tiếp vào dữ kiện trong ví dụ minh họa của tiết học: Ví dụ. Tính $\sin 75^\circ$.
  • Lưu ý khi trình bày: Xác định rõ yêu cầu, áp dụng đúng quy tắc/khái niệm trong mục 1 và kiểm tra lại kết quả cuối cùng.
• Bài 3:
  • Phương pháp giải: Áp dụng các quy tắc ghi nhớ của bài Bài 2: Công thức lượng giác (Nhớ công thức cộng cho $\sin$ và $\cos$ trước, các công thức còn lại đều suy ra từ đó.; Công thức nhân đôi thường dùng để hạ bậc: $\sin^2 a = \frac{1 - \cos 2a}{2}$, $\cos^2 a = \frac{1 + \cos 2a}{2}$.; Khi biến đổi tổng thành tích, đặt $u = \frac{a + b}{2}$, $v = \frac{a - b}{2}$ để tránh nhầm lẫn.).
  • Lời giải mẫu/Nhận xét: Lời giải. Ta viết $75^\circ = 45^\circ + 30^\circ$, nên $\sin 75^\circ = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$.
• Bài 4: $x = k2\pi$.
• Bài 5: $x = k\pi$.
• Bài 6: $x = \dfrac{\pi}{3} + k2\pi$ hoặc $x = \dfrac{2\pi}{3} + k2\pi$.