Bài 27: Thể tích

1. Kiến thức trọng tâm

Thể tích của khối chóp bằng một phần ba diện tích đáy nhân với chiều cao: $V = \frac{1}{3} S_{\text{đáy}} \cdot h$, trong đó $h$ là khoảng cách từ đỉnh đến mặt phẳng đáy. Thể tích của khối lăng trụ bằng diện tích đáy nhân với chiều cao: $V = S_{\text{đáy}} \cdot h$. Thể tích của khối hộp chữ nhật bằng tích ba kích thước: $V = a \cdot b \cdot c$. Thể tích khối lập phương cạnh $a$ là $V = a^3$.

Tỉ số thể tích là công cụ quan trọng: nếu hai khối chóp có cùng chiều cao thì tỉ số thể tích bằng tỉ số diện tích đáy; nếu có cùng diện tích đáy thì tỉ số thể tích bằng tỉ số chiều cao. Với khối chóp $S.ABC$, nếu $A'$, $B'$, $C'$ lần lượt nằm trên $SA$, $SB$, $SC$ thì $\frac{V_{S.A'B'C'}}{V_{S.ABC}} = \frac{SA'}{SA} \cdot \frac{SB'}{SB} \cdot \frac{SC'}{SC}$. Công thức này giúp tính thể tích của các phần khối đa diện bị cắt bởi mặt phẳng.

Khi tính thể tích, việc xác định đúng chiều cao là then chốt: nếu hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy thì cạnh đó chính là chiều cao; nếu hình chóp đều thì chiều cao là đoạn nối đỉnh với tâm của đáy.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính thể tích khối chóp $S.ABC$ có $SA \perp (ABC)$, $SA = 6$, tam giác $ABC$ vuông tại $B$ với $AB = 4$, $BC = 3$.

Lời giải: Diện tích đáy $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = 6$. Chiều cao $h = SA = 6$. Thể tích $V = \frac{1}{3} \cdot 6 \cdot 6 = 12$.

Ví dụ 2. Khối hộp chữ nhật có ba kích thước $2$, $3$, $5$ có thể tích $V = 2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$.

3. Ghi nhớ

• Khối chóp: $V = \frac{1}{3} S_{\text{đáy}} \cdot h$; khối lăng trụ: $V = S_{\text{đáy}} \cdot h$; hộp chữ nhật: $V = abc$.
• Xác định đúng chiều cao trước khi áp dụng công thức.
• Dùng tỉ số thể tích khi khối bị chia bởi mặt phẳng.
• Diện tích tam giác vuông bằng nửa tích hai cạnh góc vuông.