Bài 1: Tính đơn điệu và cực trị của hàm số

1. Kiến thức trọng tâm

Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm trên khoảng $K$. Nếu f'(x) > 0 với mọi $x \in K$ thì $f$ đồng biến trên $K$; nếu f'(x) < 0 với mọi $x \in K$ thì $f$ nghịch biến trên $K$. Việc xét dấu của đạo hàm là công cụ chính để tìm khoảng đơn điệu.

Điểm $x_0$ được gọi là điểm cực đại của hàm số nếu tồn tại khoảng $(a; b)$ chứa $x_0$ sao cho f(x) < f(x_0) với mọi $x \in (a; b), x \ne x_0$. Tương tự, $x_0$ là điểm cực tiểu nếu f(x) > f(x_0) với mọi $x$ gần $x_0$ khác $x_0$. Giá trị $f(x_0)$ tương ứng gọi là giá trị cực đại, cực tiểu.

Để tìm cực trị: tính $f'(x)$, giải $f'(x) = 0$, lập bảng biến thiên rồi kết luận. Nếu $f'$ đổi dấu từ dương sang âm khi qua $x_0$ thì $x_0$ là điểm cực đại; nếu đổi dấu từ âm sang dương thì $x_0$ là điểm cực tiểu. Nếu $f'$ không đổi dấu thì $x_0$ không phải điểm cực trị.

2. Ví dụ minh họa

Xét hàm số $y = x^3 - 3x^2 + 2$. Ta có $y' = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$, nên $y' = 0 \iff x = 0$ hoặc $x = 2$. Bảng biến thiên: y' > 0 trên $(-\infty; 0)$, y' < 0 trên $(0; 2)$, y' > 0 trên $(2; +\infty)$. Do đó hàm số đồng biến trên $(-\infty; 0)$ và $(2; +\infty)$, nghịch biến trên $(0; 2)$.

Tại $x = 0$, $f'$ đổi dấu $+ \to -$ nên hàm số đạt cực đại, $y_{CĐ} = 2$. Tại $x = 2$, $f'$ đổi dấu $- \to +$ nên hàm số đạt cực tiểu, $y_{CT} = -2$.

3. Ghi nhớ

• Đơn điệu: xét dấu $f'$ trên từng khoảng xác định.
• Cực trị chỉ có thể xảy ra tại điểm $f' = 0$ hoặc $f'$ không xác định.
• Dấu hiệu: $f'$ đổi dấu $+ \to -$ cho cực đại, $- \to +$ cho cực tiểu.
• Cực trị là khái niệm địa phương, khác với giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên cả đoạn.