Luyện tập 1 trang 56

1. Kiến thức trọng tâm

Bài luyện tập này củng cố cách tìm ước chung lớn nhất bằng phân tích ra thừa số nguyên tố. Ba bước cần nhớ: phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố; chọn các thừa số nguyên tố chung; lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất. Nếu hai số không có thừa số nguyên tố chung nào thì ƯCLN của chúng bằng $1$, và hai số đó gọi là nguyên tố cùng nhau.

Bài luyện tập cũng rèn cách tìm tập hợp các ước chung từ ƯCLN: mọi ước chung đều là ước của ƯCLN. Vì vậy, sau khi tìm được ƯCLN, em chỉ cần liệt kê các ước của ƯCLN là có ngay tập hợp các ước chung. Cách này nhanh hơn nhiều so với việc liệt kê ước của từng số rồi lấy phần chung, nhất là khi các số lớn.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tìm $ƯCLN(40, 60)$.

Lời giải: $40 = 2^3 \cdot 5$, $60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$. Thừa số chung là $2$ và $5$, lấy số mũ nhỏ nhất: $2^2 \cdot 5 = 20$. Vậy $ƯCLN(40, 60) = 20$.

Ví dụ 2. Tìm $ƯC(40, 60)$.

Lời giải: $ƯCLN(40, 60) = 20$, các ước của $20$ là $1, 2, 4, 5, 10, 20$. Vậy $ƯC(40, 60) = {1; 2; 4; 5; 10; 20}$.

Ví dụ 3. Hai số $14$ và $25$ có nguyên tố cùng nhau không?

Lời giải: $14 = 2 \cdot 7$, $25 = 5^2$. Không có thừa số chung nên $ƯCLN(14, 25) = 1$. Vậy $14$ và $25$ nguyên tố cùng nhau.

Ví dụ 4. Tìm $x$ sao cho $x$ là ước chung của $24$ và $36$ và x > 5.

Lời giải: $ƯCLN(24, 36) = 12$, các ước của $12$ lớn hơn $5$ là $6$ và $12$. Vậy $x = 6$ hoặc $x = 12$.

3. Ghi nhớ

• Ba bước tìm ƯCLN: phân tích → chọn thừa số chung → tích với số mũ nhỏ nhất.
• Không có thừa số chung thì ƯCLN bằng $1$.
• Mọi ước chung đều là ước của ƯCLN.
• Tìm ước chung qua ƯCLN nhanh hơn liệt kê từng số.