Bài 32: Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên

1. Kiến thức trọng tâm

Cho điểm $A$ nằm ngoài đường thẳng $d$. Từ $A$, kẻ đường thẳng vuông góc với $d$ tại $H$ và một đường thẳng khác cắt $d$ tại $B$ (với $B \ne H$). Khi đó $AH$ gọi là đường vuông góc, $AB$ gọi là đường xiên, $H$ gọi là chân đường vuông góc, và $HB$ gọi là hình chiếu của đường xiên $AB$ trên đường thẳng $d$.

Định lí quan trọng: Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc là đường ngắn nhất. Nghĩa là AH < AB với mọi đường xiên $AB$. Độ dài đoạn $AH$ chính là khoảng cách từ điểm $A$ đến đường thẳng $d$.

Ngoài ra, trong hai đường xiên kẻ từ cùng một điểm đến cùng một đường thẳng, đường xiên nào có hình chiếu dài hơn thì dài hơn, và ngược lại. Nếu hai đường xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Điểm $M$ nằm ngoài đường thẳng $d$, $MH \perp d$ tại $H$ với $MH = 4$ cm, $MB$ là một đường xiên. So sánh $MH$ và $MB$.

Lời giải. Vì đường vuông góc là đường ngắn nhất nên MH < MB, tức MB > 4 cm.

Ví dụ 2. Từ điểm $A$ kẻ hai đường xiên $AB$, $AC$ đến đường thẳng $d$ với hình chiếu $HB = 3$ cm, $HC = 5$ cm. So sánh $AB$ và $AC$.

Lời giải. Vì HC > HB nên đường xiên có hình chiếu dài hơn thì dài hơn, suy ra AC > AB.

3. Ghi nhớ

• Đường vuông góc kẻ từ một điểm đến một đường thẳng là đường ngắn nhất.
• Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng là độ dài đoạn vuông góc từ điểm đó đến đường thẳng.
• Đường xiên có hình chiếu dài hơn thì dài hơn; hai đường xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau.