1. Kiến thức trọng tâm
Bất đẳng thức tam giác: Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng lớn hơn độ dài cạnh còn lại. Với tam giác có ba cạnh là , , , ta luôn có:
a + b > c, \quad b + c > a, \quad c + a > b.
Từ đó suy ra hệ quả: Trong một tam giác, hiệu độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng nhỏ hơn độ dài cạnh còn lại. Chẳng hạn |a - b| < c. Kết hợp hai điều kiện, một bộ ba số , , là độ dài ba cạnh của một tam giác khi và chỉ khi mỗi số đều lớn hơn hiệu và nhỏ hơn tổng của hai số còn lại.
Quy tắc này có ý nghĩa thực tế rõ ràng: đường thẳng là đường ngắn nhất nối hai điểm, nên đi thẳng luôn ngắn hơn đi vòng qua một điểm thứ ba. Bất đẳng thức tam giác cũng giúp ta kiểm tra xem ba đoạn thẳng cho trước có dựng được thành một tam giác hay không.
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Ba đoạn thẳng có độ dài cm, cm, cm có dựng được thành tam giác không? Vì sao?
Lời giải. Ta có , không lớn hơn nên ba đoạn thẳng này không dựng được thành tam giác.
Ví dụ 2. Một tam giác có hai cạnh là cm và cm. Hỏi cạnh thứ ba có thể dài bao nhiêu?
Lời giải. Gọi cạnh thứ ba là (cm). Theo bất đẳng thức tam giác, 10 - 6 < x < 10 + 6, tức 4 < x < 16. Vậy cạnh thứ ba lớn hơn cm và nhỏ hơn cm.
3. Ghi nhớ
- Tổng độ dài hai cạnh bất kì luôn lớn hơn độ dài cạnh còn lại.
- Hiệu độ dài hai cạnh bất kì luôn nhỏ hơn độ dài cạnh còn lại.
- Muốn kiểm tra ba đoạn thẳng có tạo thành tam giác hay không, chỉ cần kiểm tra tổng hai cạnh ngắn nhất có lớn hơn cạnh dài nhất hay không.