Bài 16: Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

1. Kiến thức trọng tâm

Cho đường tròn $(O; R)$ và đường thẳng $a$. Gọi $d$ là khoảng cách từ tâm $O$ đến đường thẳng $a$, tức là độ dài đoạn vuông góc kẻ từ $O$ đến $a$. So sánh $d$ với $R$, ta có ba vị trí tương đối sau:

• Đường thẳng và đường tròn cắt nhau tại hai điểm phân biệt khi d < R. Khi đó đường thẳng gọi là cát tuyến của đường tròn.
• Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau tại đúng một điểm khi $d = R$. Điểm chung duy nhất gọi là tiếp điểm. Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn gọi là tiếp tuyến.
• Đường thẳng và đường tròn không giao nhau khi d > R.

Tiếp tuyến của đường tròn có tính chất quan trọng: tiếp tuyến vuông góc với bán kính tại tiếp điểm. Ngược lại, đường thẳng đi qua một điểm trên đường tròn và vuông góc với bán kính tại điểm đó là tiếp tuyến của đường tròn.

Từ một điểm $M$ nằm ngoài đường tròn, ta kẻ được hai tiếp tuyến đến đường tròn. Hai tiếp tuyến này có tính chất: hai đoạn tiếp tuyến kẻ từ cùng một điểm ngoài đường tròn thì bằng nhau, và đường thẳng nối điểm đó với tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.

2. Ví dụ minh họa

Cho đường tròn $(O; 5 \text{ cm})$ và đường thẳng $a$ cách $O$ một khoảng $3$ cm. Hỏi $a$ và đường tròn có vị trí tương đối như thế nào?

Lời giải. Vì d = 3 < 5 = R nên đường thẳng $a$ cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt.

3. Ghi nhớ

• Xác định vị trí tương đối bằng cách so sánh khoảng cách $d$ từ tâm đến đường thẳng với bán kính $R$: d < R cắt nhau, $d = R$ tiếp xúc, d > R không giao nhau.
• Tiếp tuyến vuông góc với bán kính tại tiếp điểm; đây là dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến hay dùng nhất.
• Hai tiếp tuyến kẻ từ một điểm ngoài đường tròn thì bằng nhau; đường nối điểm đó với tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.