Bài 20: Định lí Viète và ứng dụng

1. Kiến thức trọng tâm

Định lí Viète: nếu phương trình bậc hai $ax^2 + bx + c = 0$ với $a \ne 0$ có hai nghiệm $x_1$, $x_2$ thì tổng và tích của hai nghiệm thỏa mãn

$$S = x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}, \qquad P = x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}.$$

Định lí đảo của Viète: nếu hai số $u$ và $v$ có tổng $u + v = S$ và tích $uv = P$ thì $u$ và $v$ là hai nghiệm của phương trình $t^2 - St + P = 0$. Điều kiện để hai số đó tồn tại là $S^2 - 4P \ge 0$.

Ứng dụng của định lí Viète rất phong phú:

• Nhẩm nghiệm nhanh: nếu $a + b + c = 0$ thì hai nghiệm là $1$ và $\dfrac{c}{a}$; nếu $a - b + c = 0$ thì hai nghiệm là $-1$ và $-\dfrac{c}{a}$.
• Tính giá trị các biểu thức đối xứng của hai nghiệm mà không cần giải phương trình, ví dụ $x_1^2 + x_2^2 = S^2 - 2P$, $\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} = \dfrac{S}{P}$.
• Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng.
• Phân tích đa thức thành nhân tử: nếu phương trình $ax^2 + bx + c = 0$ có hai nghiệm $x_1$, $x_2$ thì $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$.

2. Ví dụ minh họa

Cho phương trình $x^2 - 7x + 10 = 0$. Không giải phương trình, hãy tính $x_1^2 + x_2^2$ với $x_1$, $x_2$ là hai nghiệm.

Lời giải. Biệt thức \Delta = 49 - 40 = 9 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt. Theo định lí Viète: $S = x_1 + x_2 = 7$, $P = x_1 x_2 = 10$. Do đó $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = S^2 - 2P = 49 - 20 = 29$.

3. Ghi nhớ

• Viète: $x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$, $x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}$; chỉ dùng khi $\Delta \ge 0$.