Bài tập — Bài 24: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

Phần 1: Câu hỏi Trắc nghiệm (Nhận biết & Thông hiểu)

Câu 1. Nội dung nào sau đây phản ánh đúng kiến thức cần ghi nhớ trong bài Bài 24: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp? A. Bỏ qua các khái niệm cơ bản và chỉ học thuộc lòng kết quả cuối cùng mà không cần hiểu bản chất. B. Hoán vị: $P_n = n!$ . C. Chỉ áp dụng kiến thức trong một trường hợp duy nhất, không cần kiểm tra điều kiện hay đơn vị. D. Các nội dung trong bài hoàn toàn độc lập và không có mối liên hệ nào với thực tiễn hay các bài học khác.

Câu 2. Khi học và vận dụng bài Bài 24: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp, khẳng định nào dưới đây là chính xác? A. Không cần đọc kĩ đề bài hay phân tích dữ kiện trước khi thực hiện các bước giải. B. Mọi khái niệm trong bài đều có thể thay thế tùy ý cho nhau mà không làm thay đổi kết quả. C. Chỉnh hợp (có thứ tự): $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$ . D. Chỉ cần ghi đáp số ngắn gọn, bỏ qua toàn bộ bước lập luận, giải thích và kiểm tra lại.

Câu 3. Theo phần Kiến thức trọng tâm của bài Bài 24: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp, phát biểu nào sau đây là đúng? A. Kết luận ngay kết quả khi chưa đối chiếu với quy tắc hoặc định nghĩa trong bài học. B. Thay đổi toàn bộ quy tắc trọng tâm của bài học theo cảm tính cá nhân. C. Bỏ qua việc rèn luyện qua ví dụ minh họa và bài tập thực hành của tiết học. D. Cho tập hợp $A$ gồm $n$ phần tử phân biệt.

Câu 4. Để nắm vững và vận dụng tốt bài Bài 24: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp, học sinh cần lưu ý điều nào sau đây? A. $n! = n \cdot (n-1) \cdots 2 \cdot 1$ . B. Không cần ghi nhớ các lưu ý trọng tâm vì chúng không ảnh hưởng đến việc làm bài tập. C. Áp dụng ngược lại hoàn toàn so với quy tắc và hướng dẫn trong phần kiến thức trọng tâm. D. Chỉ cần đọc lướt tiêu đề bài học mà không cần nắm vững nội dung chi tiết từng mục.

Phần 2: Bài tập Tự luận & Thực hành theo tiết học

Bài 1 (Cơ bản — Hệ thống hóa kiến thức trọng tâm). Dựa vào phần Kiến thức trọng tâm của bài Bài 24: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp, em hãy trình bày các khái niệm, quy tắc hoặc nội dung cốt lõi của tiết học và nêu ý nghĩa của chúng.

Bài 2 (Thực hành — Phân tích & Giải mẫu theo ví dụ tiết học). Đọc kĩ tình huống/ví dụ trọng tâm của tiết học dưới đây, sau đó tự trình bày lại các bước thực hiện và nêu nhận xét rút ra:

Từ $5$ học sinh, có bao nhiêu cách chọn $3$ bạn xếp thành một hàng dọc chụp ảnh?

Bài 3 (Vận dụng — Áp dụng quy tắc ghi nhớ vào bài tập). Vận dụng các điểm ghi nhớ trọng tâm của bài Bài 24: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp để giải thích hoặc thực hiện yêu cầu thực hành mở rộng sau:

Việc chọn $3$ bạn và xếp theo thứ tự nên dùng chỉnh hợp: $A_5^3 = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60$ cách.

Bài 4 (Luyện tập học kì — Mức độ Cơ bản). Một hộp có $8$ bi trắng, $5$ bi đen. Lấy ngẫu nhiên $3$ bi. Tính xác suất để lấy được $3$ bi cùng màu.

Bài 5 (Luyện tập học kì — Mức độ Thông hiểu). Gieo hai đồng xu và một con xúc xắc. Tính xác suất được hai mặt sấp và mặt xúc xắc là $6$ .

Bài 6 (Luyện tập học kì — Mức độ Vận dụng & Nâng cao). Tìm $m$ để phương trình $x^2 - 2(m - 1)x + m^2 - 3 = 0$ có hai nghiệm phân biệt trái dấu. ---

Phần 3: Đáp án & Hướng dẫn giải chi tiết

1. Đáp án phần Trắc nghiệm

Bảng đáp án: 1-B, 2-C, 3-D, 4-A.
Giải thích chi tiết:
- Câu 1 (B): Khẳng định đúng theo mục Ghi nhớ của bài: "Hoán vị: $P_n = n!$ ."
- Câu 2 (C): Khẳng định đúng theo nội dung cốt lõi của tiết học: "Chỉnh hợp (có thứ tự): $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$ ."
- Câu 3 (D): Khẳng định chuẩn xác theo phần Kiến thức trọng tâm: "Cho tập hợp $A$ gồm $n$ phần tử phân biệt."
- Câu 4 (A): Khẳng định đúng theo hướng dẫn trọng tâm của bài: " $n! = n \cdot (n-1) \cdots 2 \cdot 1$ ."

2. Hướng dẫn giải phần Tự luận & Thực hành

Bài 1:
- Nội dung cốt lõi cần trình bày: Cho tập hợp $A$ gồm $n$ phần tử phân biệt. Hoán vị của $n$ phần tử là một cách sắp xếp có thứ tự tất cả $n$ phần tử.
- Tổng kết ghi nhớ: Hoán vị: $P_n = n!$ .; Chỉnh hợp (có thứ tự): $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$ .; Tổ hợp (không thứ tự): $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ và $C_n^k = C_n^{n-k}$ .
Bài 2:
- Hướng dẫn phân tích & trình bày: Dựa trực tiếp vào dữ kiện trong ví dụ minh họa của tiết học: Từ $5$ học sinh, có bao nhiêu cách chọn $3$ bạn xếp thành một hàng dọc chụp ảnh?
- Lưu ý khi trình bày: Xác định rõ yêu cầu, áp dụng đúng quy tắc/khái niệm trong mục 1 và kiểm tra lại kết quả cuối cùng.
Bài 3:
- Phương pháp giải: Áp dụng các quy tắc ghi nhớ của bài Bài 24: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp (Hoán vị: $P_n = n!$ .; Chỉnh hợp (có thứ tự): $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$ .; Tổ hợp (không thứ tự): $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ và $C_n^k = C_n^{n-k}$ .).
- Lời giải mẫu/Nhận xét: Việc chọn $3$ bạn và xếp theo thứ tự nên dùng chỉnh hợp: $A_5^3 = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60$ cách.
Bài 4: $\dfrac{C(8, 3) + C(5, 3)}{C(13, 3)} = \dfrac{56 + 10}{286} = \dfrac{33}{143}$ .
Bài 5: $\dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{24}$ .
Bài 6: Hai nghiệm trái dấu $\iff ac < 0 \iff m^2 - 3 < 0 \iff -\sqrt{3} < m < \sqrt{3}$ .

Phần 1: Câu hỏi Trắc nghiệm (Nhận biết & Thông hiểu)

P_n = n!

. C. Chỉ áp dụng kiến thức trong một trường hợp duy nhất, không cần kiểm tra điều kiện hay đơn vị. D. Các nội dung trong bài hoàn toàn độc lập và không có mối liên hệ nào với thực tiễn hay các bài học khác.

A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}

. D. Chỉ cần ghi đáp số ngắn gọn, bỏ qua toàn bộ bước lập luận, giải thích và kiểm tra lại.

A

gồm

n

phần tử phân biệt.

Câu 4. Để nắm vững và vận dụng tốt bài Bài 24: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp, học sinh cần lưu ý điều nào sau đây? A.

n! = n \cdot (n-1) \cdots 2 \cdot 1

. B. Không cần ghi nhớ các lưu ý trọng tâm vì chúng không ảnh hưởng đến việc làm bài tập. C. Áp dụng ngược lại hoàn toàn so với quy tắc và hướng dẫn trong phần kiến thức trọng tâm. D. Chỉ cần đọc lướt tiêu đề bài học mà không cần nắm vững nội dung chi tiết từng mục.

Phần 2: Bài tập Tự luận & Thực hành theo tiết học

Từ $5$ học sinh, có bao nhiêu cách chọn $3$ bạn xếp thành một hàng dọc chụp ảnh?

Việc chọn $3$ bạn và xếp theo thứ tự nên dùng chỉnh hợp: $A_5^3 = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60$ cách.

Bài 4 (Luyện tập học kì — Mức độ Cơ bản). Một hộp có

8

bi trắng,

5

bi đen. Lấy ngẫu nhiên

3

bi. Tính xác suất để lấy được

3

bi cùng màu.

Bài 5 (Luyện tập học kì — Mức độ Thông hiểu). Gieo hai đồng xu và một con xúc xắc. Tính xác suất được hai mặt sấp và mặt xúc xắc là

6

Bài 6 (Luyện tập học kì — Mức độ Vận dụng & Nâng cao). Tìm

m

để phương trình

x^2 - 2(m - 1)x + m^2 - 3 = 0

có hai nghiệm phân biệt trái dấu. ---

Phần 3: Đáp án & Hướng dẫn giải chi tiết

1. Đáp án phần Trắc nghiệm

Bảng đáp án: 1-B, 2-C, 3-D, 4-A.

Giải thích chi tiết:

Câu 1 (B): Khẳng định đúng theo mục Ghi nhớ của bài: "Hoán vị: $P_n = n!$ ."
Câu 2 (C): Khẳng định đúng theo nội dung cốt lõi của tiết học: "Chỉnh hợp (có thứ tự): $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$ ."
Câu 3 (D): Khẳng định chuẩn xác theo phần Kiến thức trọng tâm: "Cho tập hợp $A$ gồm $n$ phần tử phân biệt."
Câu 4 (A): Khẳng định đúng theo hướng dẫn trọng tâm của bài: " $n! = n \cdot (n-1) \cdots 2 \cdot 1$ ."

2. Hướng dẫn giải phần Tự luận & Thực hành

Bài 1:

Nội dung cốt lõi cần trình bày: Cho tập hợp $A$ gồm $n$ phần tử phân biệt. Hoán vị của $n$ phần tử là một cách sắp xếp có thứ tự tất cả $n$ phần tử.
Tổng kết ghi nhớ: Hoán vị: $P_n = n!$ .; Chỉnh hợp (có thứ tự): $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$ .; Tổ hợp (không thứ tự): $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ và $C_n^k = C_n^{n-k}$ .

Bài 2:

Hướng dẫn phân tích & trình bày: Dựa trực tiếp vào dữ kiện trong ví dụ minh họa của tiết học: Từ $5$ học sinh, có bao nhiêu cách chọn $3$ bạn xếp thành một hàng dọc chụp ảnh?
Lưu ý khi trình bày: Xác định rõ yêu cầu, áp dụng đúng quy tắc/khái niệm trong mục 1 và kiểm tra lại kết quả cuối cùng.

Bài 3:

Phương pháp giải: Áp dụng các quy tắc ghi nhớ của bài Bài 24: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp (Hoán vị: $P_n = n!$ .; Chỉnh hợp (có thứ tự): $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$ .; Tổ hợp (không thứ tự): $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ và $C_n^k = C_n^{n-k}$ .).
Lời giải mẫu/Nhận xét: Việc chọn $3$ bạn và xếp theo thứ tự nên dùng chỉnh hợp: $A_5^3 = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60$ cách.

Bài 4:

\dfrac{C(8, 3) + C(5, 3)}{C(13, 3)} = \dfrac{56 + 10}{286} = \dfrac{33}{143}

Bài 5:

\dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{24}

Bài 6: Hai nghiệm trái dấu

\iff ac &lt; 0 \iff m^2 - 3 &lt; 0 \iff -\sqrt{3} &lt; m &lt; \sqrt{3}