Bài 27: Thực hành tính xác suất theo định nghĩa cổ điển

1. Kiến thức trọng tâm

Để tính xác suất của một biến cố theo định nghĩa cổ điển, ta thực hiện ba bước: mô tả không gian mẫu $\Omega$ và tính $n(\Omega)$; mô tả biến cố $A$ và tính $n(A)$; áp dụng công thức $P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)}$.

Việc đếm $n(\Omega)$ và $n(A)$ thường dùng quy tắc đếm, hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp. Khi phép thử gồm nhiều giai đoạn, cần xác định rõ mỗi giai đoạn có bao nhiêu kết quả và các kết quả có đồng khả năng hay không.

Một kĩ thuật quan trọng là dùng biến cố đối: khi biến cố $A$ được mô tả bằng "ít nhất một", "có ít nhất", việc đếm trực tiếp $n(A)$ thường phức tạp, còn biến cố đối $\bar{A}$ (ví dụ "không có cái nào") dễ đếm hơn. Khi đó tính $P(\bar{A})$ rồi dùng $P(A) = 1 - P(\bar{A})$.

Khi mô tả không gian mẫu, cần thống nhất cách ghi kết quả: ví dụ gieo hai đồng xu thì $\Omega$ có $4$ kết quả ${SS, SN, NS, NN}$; rút hai thẻ từ một hộp thì kết quả là một tập con gồm hai thẻ, số kết quả là $C_n^2$ nếu thứ tự rút không quan trọng. Việc mô tả không nhất quán là nguyên nhân phổ biến gây sai sót.

2. Ví dụ minh họa

Một hộp có $4$ bi đỏ và $3$ bi xanh, lấy ngẫu nhiên $2$ bi. Tính xác suất lấy được $2$ bi đỏ.

Không gian mẫu: số cách lấy $2$ bi từ $7$ bi là $n(\Omega) = C_7^2 = 21$.

Biến cố $A$: "lấy được $2$ bi đỏ" có $n(A) = C_4^2 = 6$ cách.

Vậy $P(A) = \frac{6}{21} = \frac{2}{7}$.

Dùng biến cố đối để kiểm tra xác suất "lấy được ít nhất một bi xanh": biến cố đối là "lấy được $2$ bi đỏ", có xác suất $\frac{2}{7}$, nên xác suất cần tìm là $1 - \frac{2}{7} = \frac{5}{7}$.

3. Ghi nhớ

• Ba bước: đếm $n(\Omega)$, đếm $n(A)$, tính $P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)}$.
• Đếm bằng quy tắc đếm, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp.
• Gặp "ít nhất một" thì nghĩ ngay đến biến cố đối.