Bài 26: Biến cố và định nghĩa cổ điển của xác suất

1. Kiến thức trọng tâm

Phép thử ngẫu nhiên là một thí nghiệm hay hành động mà kết quả của nó không đoán trước được, nhưng ta biết được tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra. Tập hợp đó gọi là không gian mẫu, kí hiệu là $\Omega$. Mỗi kết quả của phép thử gọi là một kết quả thuận lợi cho biến cố $A$ nếu khi kết quả đó xảy ra thì biến cố $A$ xảy ra.

Biến cố là một tập con của không gian mẫu. Biến cố chắc chắn là $\Omega$, biến cố không thể là tập rỗng $\varnothing$. Biến cố đối của $A$, kí hiệu $\bar{A}$, là biến cố "A không xảy ra", gồm các kết quả trong $\Omega$ nhưng không thuộc $A$.

Định nghĩa cổ điển của xác suất: xét phép thử mà không gian mẫu $\Omega$ có hữu hạn phần tử và các kết quả đồng khả năng xuất hiện. Xác suất của biến cố $A$ là $P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)}$, trong đó $n(A)$ là số kết quả thuận lợi cho $A$ và $n(\Omega)$ là số phần tử của không gian mẫu.

Từ định nghĩa suy ra: $0 \le P(A) \le 1$, $P(\Omega) = 1$, $P(\varnothing) = 0$ và $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$. Công thức cuối rất hữu ích khi tính trực tiếp $P(A)$ khó mà tính $P(\bar{A})$ dễ hơn.

2. Ví dụ minh họa

Gieo một con xúc xắc cân đối, đồng chất một lần. Tính xác suất xuất hiện mặt có số chấm chẵn.

Không gian mẫu: $\Omega = {1; 2; 3; 4; 5; 6}$ nên $n(\Omega) = 6$.

Biến cố $A$: "xuất hiện mặt chẵn" là $A = {2; 4; 6}$ nên $n(A) = 3$.

Vậy $P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

Biến cố đối $\bar{A}$: "xuất hiện mặt lẻ" là ${1; 3; 5}$, có $P(\bar{A}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$. Kiểm tra: $P(A) + P(\bar{A}) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$, đúng công thức.

3. Ghi nhớ

• Không gian mẫu $\Omega$: tập hợp mọi kết quả có thể của phép thử.
• $P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)}$ khi các kết quả đồng khả năng.
• $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$; $0 \le P(A) \le 1$.