Bài 25: Nhị thức Newton

1. Kiến thức trọng tâm

Nhị thức Newton là công thức khai triển lũy thừa của một tổng: $(a + b)^n = C_n^0 a^n + C_n^1 a^{n-1}b + C_n^2 a^{n-2}b^2 + \cdots + C_n^n b^n$ với $n$ là số nguyên không âm. Mỗi số hạng tổng quát có dạng $T_{k+1} = C_n^k a^{n-k} b^k$ với $k = 0, 1, \ldots, n$.

Khai triển có $n + 1$ số hạng. Các hệ số $C_n^0, C_n^1, \ldots, C_n^n$ gọi là hệ số nhị thức, đối xứng nhau: $C_n^k = C_n^{n-k}$. Tổng các số mũ của $a$ và $b$ trong mỗi số hạng đều bằng $n$: số mũ của $a$ giảm dần từ $n$ xuống $0$, số mũ của $b$ tăng dần từ $0$ lên $n$.

Các hệ số nhị thức có thể tra cứu bằng tam giác Pascal: mỗi số trong tam giác bằng tổng hai số ở ngay phía trên nó, theo công thức $C_n^k = C_{n-1}^{k-1} + C_{n-1}^k$. Hàng thứ $n$ của tam giác Pascal cho các hệ số của khai triển $(a + b)^n$.

Hai hệ quả thường dùng: thay $a = b = 1$ ta được $2^n = C_n^0 + C_n^1 + \cdots + C_n^n$ (tổng các hệ số bằng $2^n$); thay $a = 1, b = -1$ ta được $0 = C_n^0 - C_n^1 + C_n^2 - \cdots$.

2. Ví dụ minh họa

Khai triển $(x + 2)^4$.

Áp dụng công thức: $(x + 2)^4 = C_4^0 x^4 + C_4^1 x^3 \cdot 2 + C_4^2 x^2 \cdot 2^2 + C_4^3 x \cdot 2^3 + C_4^4 \cdot 2^4$.

Với $C_4^0 = 1$, $C_4^1 = 4$, $C_4^2 = 6$, $C_4^3 = 4$, $C_4^4 = 1$, ta được:

$(x + 2)^4 = x^4 + 8x^3 + 24x^2 + 32x + 16$.

Kiểm tra: tổng hệ số $1 + 8 + 24 + 32 + 16 = 81 = 3^4$, đúng vì thay $x = 1$ ta có $(1 + 2)^4 = 81$.

Số hạng thứ ba (ứng với $k = 2$) là $T_3 = C_4^2 x^2 \cdot 2^2 = 24x^2$.

3. Ghi nhớ

• $(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k$.
• Số hạng tổng quát: $T_{k+1} = C_n^k a^{n-k} b^k$.
• Tổng hệ số: $C_n^0 + C_n^1 + \cdots + C_n^n = 2^n$.