Bài 24: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

1. Kiến thức trọng tâm

Cho tập hợp $A$ gồm $n$ phần tử phân biệt. Hoán vị của $n$ phần tử là một cách sắp xếp có thứ tự tất cả $n$ phần tử. Số hoán vị là $P_n = n! = n \cdot (n-1) \cdots 2 \cdot 1$. Quy ước $0! = 1$.

Chỉnh hợp chập $k$ của $n$ phần tử là một cách chọn $k$ phần tử và sắp xếp chúng theo một thứ tự. Số chỉnh hợp là $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} = n \cdot (n-1) \cdots (n-k+1)$ với $1 \le k \le n$. Chỉnh hợp chú ý đến thứ tự.

Tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử là một cách chọn $k$ phần tử, không quan tâm thứ tự. Số tổ hợp là $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ với $0 \le k \le n$. Tổ hợp có tính chất $C_n^k = C_n^{n-k}$ và $C_n^k = C_{n-1}^{k-1} + C_{n-1}^k$ (công thức Pascal).

Cách phân biệt: nếu bài toán yêu cầu chọn rồi sắp xếp (có thứ tự) thì dùng chỉnh hợp; nếu chỉ chọn (không có thứ tự) thì dùng tổ hợp. Khi $k = n$, chỉnh hợp trùng với hoán vị: $A_n^n = P_n = n!$.

Các công thức trên là nền tảng để tính xác suất trong chương sau, vì số phần tử của không gian mẫu thường được tính bằng tổ hợp hoặc chỉnh hợp.

2. Ví dụ minh họa

Từ $5$ học sinh, có bao nhiêu cách chọn $3$ bạn xếp thành một hàng dọc chụp ảnh?

Việc chọn $3$ bạn và xếp theo thứ tự nên dùng chỉnh hợp: $A_5^3 = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60$ cách.

Nếu chỉ chọn $3$ bạn để tặng quà giống nhau (không có thứ tự), dùng tổ hợp: $C_5^3 = \frac{5!}{3! \cdot 2!} = 10$ cách. Kiểm tra: $C_5^3 = C_5^2 = 10$, đúng tính chất đối xứng.

Số cách xếp $5$ bạn thành một hàng là hoán vị: $P_5 = 5! = 120$ cách.

3. Ghi nhớ

• Hoán vị: $P_n = n!$.
• Chỉnh hợp (có thứ tự): $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.
• Tổ hợp (không thứ tự): $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ và $C_n^k = C_n^{n-k}$.