Bài 23: Quy tắc đếm

1. Kiến thức trọng tâm

Quy tắc đếm dùng để đếm số phần tử của một tập hợp khi việc đếm trực tiếp khó khăn. Hai quy tắc cơ bản là quy tắc cộng và quy tắc nhân.

Quy tắc cộng: nếu một công việc có thể thực hiện theo một trong hai phương án: phương án thứ nhất có $m$ cách, phương án thứ hai có $n$ cách (hai phương án không trùng nhau), thì công việc có $m + n$ cách thực hiện.

Quy tắc nhân: Nếu một công việc được thực hiện qua hai bước liên tiếp: bước thứ nhất có $m$ cách, ứng với mỗi cách đó bước thứ hai có $n$ cách, thì công việc có $m \cdot n$ cách thực hiện. Quy tắc này cũng mở rộng cho nhiều bước liên tiếp.

Để phân biệt hai quy tắc, ta đặt câu hỏi: các lựa chọn là thay thế nhau (hoặc... hoặc) hay phải làm tất cả (và... và)? Trường hợp "hoặc" dùng quy tắc cộng, trường hợp "và" dùng quy tắc nhân.

Sơ đồ hình cây là công cụ minh họa hữu ích: mỗi nhánh ứng với một lựa chọn, số lá của cây bằng số kết quả cần đếm.

2. Ví dụ minh họa

Một học sinh có $3$ chiếc áo và $2$ chiếc quần. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một bộ quần áo?

Việc chọn một bộ gồm hai bước liên tiếp: chọn áo (bước 1) và chọn quần (bước 2). Bước 1 có $3$ cách, ứng với mỗi áo có $2$ cách chọn quần. Theo quy tắc nhân, số cách là $3 \cdot 2 = 6$ cách.

Nếu thêm câu hỏi: có bao nhiêu cách chọn một chiếc áo HOẶC một chiếc quần? Hai phương án thay thế nhau nên dùng quy tắc cộng: $3 + 2 = 5$ cách.

Vẽ sơ đồ hình cây với $3$ nhánh áo, mỗi nhánh áo chia thành $2$ nhánh quần, ta đếm được $6$ lá, khớp với kết quả trên.

3. Ghi nhớ

• "Hoặc" → quy tắc cộng: $m + n$ cách.
• "Và" (làm liên tiếp) → quy tắc nhân: $m \cdot n$ cách.
• Sơ đồ hình cây giúp kiểm tra và tránh bỏ sót kết quả.