Bài 22: Ba đường conic

1. Kiến thức trọng tâm

Ba đường conic là elip, hypebol và parabol. Chúng xuất hiện khi cắt một mặt nón tròn xoay bằng các mặt phẳng khác nhau, và đều có phương trình chính tắc trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$.

Elip có phương trình chính tắc $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ với a > b > 0. Hai tiêu điểm là $F_1(-c; 0)$, $F_2(c; 0)$ với $c^2 = a^2 - b^2$. Elip là tập hợp các điểm $M$ sao cho $MF_1 + MF_2 = 2a$ không đổi.

Hypebol có phương trình chính tắc $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ với a > 0, b > 0. Hai tiêu điểm là $F_1(-c; 0)$, $F_2(c; 0)$ với $c^2 = a^2 + b^2$. Hypebol là tập hợp các điểm $M$ sao cho $|MF_1 - MF_2| = 2a$ không đổi. Hai đường tiệm cận có phương trình $y = \pm \frac{b}{a}x$.

Parabol có phương trình chính tắc $y^2 = 2px$ với p > 0. Tiêu điểm là $F\left(\frac{p}{2}; 0\right)$, đường chuẩn là $x = -\frac{p}{2}$. Parabol là tập hợp các điểm $M$ cách đều tiêu điểm và đường chuẩn.

Cả ba đường conic đều có thể xác định bằng các yếu tố: trục đối xứng, đỉnh, tiêu điểm, và tham số $a, b, c$ hoặc $p$.

2. Ví dụ minh họa

Viết phương trình chính tắc của elip có độ dài trục lớn bằng $10$ và tiêu cự bằng $6$.

Trục lớn $2a = 10$ nên $a = 5$. Tiêu cự $2c = 6$ nên $c = 3$. Suy ra $b^2 = a^2 - c^2 = 25 - 9 = 16$.

Vậy phương trình chính tắc của elip là $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$.

Hai tiêu điểm là $F_1(-3; 0)$ và $F_2(3; 0)$. Điểm $M(0; 4)$ thuộc elip vì $\frac{0}{25} + \frac{16}{16} = 1$. Tổng khoảng cách $MF_1 + MF_2 = 5 + 5 = 10 = 2a$, đúng định nghĩa elip.

3. Ghi nhớ

• Elip: $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$, $c^2 = a^2 - b^2$, $MF_1 + MF_2 = 2a$.
• Hypebol: $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$, $c^2 = a^2 + b^2$, $|MF_1 - MF_2| = 2a$.
• Parabol: $y^2 = 2px$, tiêu điểm $F\left(\frac{p}{2}; 0\right)$, đường chuẩn $x = -\frac{p}{2}$.