Bài 21: Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ

1. Kiến thức trọng tâm

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, đường tròn tâm $I(a; b)$ bán kính $R$ có phương trình $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$. Đây là phương trình chính tắc của đường tròn. Khai triển ra ta được phương trình dạng $x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0$ với $c = a^2 + b^2 - R^2$, và điều kiện để một phương trình dạng này là đường tròn là a^2 + b^2 - c > 0.

Muốn viết phương trình đường tròn, ta cần xác định tâm và bán kính. Tâm có thể là giao điểm của hai đường trung trực, hoặc điểm cho trước. Bán kính thường là khoảng cách từ tâm đến một điểm thuộc đường tròn, hoặc khoảng cách từ tâm đến tiếp tuyến.

Vị trí tương đối của một điểm $M(x_0; y_0)$ với đường tròn tâm $I$ bán kính $R$ xét qua khoảng cách $IM$: nếu IM < R thì điểm nằm trong đường tròn, nếu $IM = R$ thì điểm nằm trên đường tròn, nếu IM > R thì điểm nằm ngoài đường tròn.

Đường thẳng $\Delta$ tiếp xúc với đường tròn khi khoảng cách từ tâm đến $\Delta$ bằng $R$; cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt khi khoảng cách nhỏ hơn $R$; không cắt đường tròn khi khoảng cách lớn hơn $R$.

2. Ví dụ minh họa

Viết phương trình đường tròn có tâm $I(1; -2)$ và đi qua điểm $A(4; 2)$.

Bán kính là khoảng cách $IA = \sqrt{(4 - 1)^2 + (2 + 2)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$.

Vậy phương trình đường tròn là $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 25$.

Kiểm tra: khai triển được $x^2 + y^2 - 2x + 4y - 20 = 0$, và a^2 + b^2 - c = 1 + 4 + 20 = 25 > 0, đúng là phương trình đường tròn.

3. Ghi nhớ

• Phương trình chính tắc: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$.
• Phương trình tổng quát: $x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0$ với a^2 + b^2 - c > 0.
• Tiếp xúc khi khoảng cách từ tâm đến đường thẳng bằng $R$.