Bài 20: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách

1. Kiến thức trọng tâm

Cho hai đường thẳng $\Delta_1: a_1x + b_1y + c_1 = 0$ và $\Delta_2: a_2x + b_2y + c_2 = 0$. Vị trí tương đối của chúng được xác định qua hệ phương trình tạo bởi hai phương trình:

• Cắt nhau khi hệ có nghiệm duy nhất, tức là $\dfrac{a_1}{a_2} \ne \dfrac{b_1}{b_2}$ (với các mẫu số khác $0$). Tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ.
• Song song khi hệ vô nghiệm, tức là $\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{b_1}{b_2} \ne \dfrac{c_1}{c_2}$.
• Trùng nhau khi hệ có vô số nghiệm, tức là $\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{b_1}{b_2} = \dfrac{c_1}{c_2}$.

Góc giữa hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$ là góc $\varphi$ thỏa mãn $0^\circ \le \varphi \le 90^\circ$, xác định bởi $\cos \varphi = \dfrac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|}$, trong đó $\vec{n_1}, \vec{n_2}$ là các vectơ pháp tuyến. Hai đường thẳng vuông góc khi và chỉ khi $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0$.

Khoảng cách từ điểm $M(x_0; y_0)$ đến đường thẳng $\Delta: ax + by + c = 0$ là:

$$d(M, \Delta) = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}.$$

Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song $\Delta_1$ và $\Delta_2$ bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên $\Delta_1$ đến $\Delta_2$.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Xét vị trí tương đối của $\Delta_1: x - 2y + 1 = 0$ và $\Delta_2: 2x - 4y + 3 = 0$.

Lời giải: $\dfrac{1}{2} = \dfrac{-2}{-4} \ne \dfrac{1}{3}$ nên hai đường thẳng song song.

Ví dụ 2. Tính khoảng cách từ $M(1; 1)$ đến $\Delta: 3x + 4y - 5 = 0$.

Lời giải: $d = \dfrac{|3 \cdot 1 + 4 \cdot 1 - 5|}{\sqrt{9 + 16}} = \dfrac{2}{5}$.

3. Ghi nhớ

• Cắt nhau: $\dfrac{a_1}{a_2} \ne \dfrac{b_1}{b_2}$; song song: tỉ lệ $a, b$ bằng nhau, khác tỉ lệ $c$; trùng nhau: cả ba tỉ lệ bằng nhau.
• Góc giữa hai đường thẳng: dùng góc giữa hai vectơ pháp tuyến, lấy giá trị từ $0^\circ$ đến $90^\circ$.
• $d(M, \Delta) = \dfrac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$; nhớ lấy giá trị tuyệt đối ở tử số.