Bài 19: Phương trình đường thẳng

1. Kiến thức trọng tâm

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, đường thẳng $\Delta$ được xác định nếu biết một điểm $M_0(x_0; y_0)$ thuộc $\Delta$ và một vectơ chỉ phương $\vec{u} = (a; b)$ hoặc một vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (p; q)$.

Phương trình tham số của $\Delta$ đi qua $M_0(x_0; y_0)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (a; b)$ là:

$$\begin{cases} x = x_0 + at \ y = y_0 + bt \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R}).$$

Phương trình tổng quát của $\Delta$ đi qua $M_0(x_0; y_0)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (p; q)$ là $p(x - x_0) + q(y - y_0) = 0$, hay $px + qy + r = 0$ với $r = -px_0 - qy_0$. Vectơ pháp tuyến vuông góc với vectơ chỉ phương, nên nếu $\vec{u} = (a; b)$ thì $\vec{n} = (-b; a)$ hoặc $(b; -a)$.

Đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt $A(x_A; y_A)$ và $B(x_B; y_B)$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A)$.

Nếu đường thẳng không song song với trục tung, nó có phương trình đoạn chắn $\dfrac{x}{m} + \dfrac{y}{n} = 1$ khi cắt $Ox$ tại $(m; 0)$ và $Oy$ tại $(0; n)$, và phương trình hệ số góc $y = kx + b$, trong đó $k$ là hệ số góc. Với vectơ chỉ phương $\vec{u} = (a; b)$, $a \ne 0$, hệ số góc $k = \dfrac{b}{a} = \tan \alpha$, trong đó $\alpha$ là góc tạo bởi đường thẳng với chiều dương trục $Ox$.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua $A(1; 2)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (3; -1)$.

Lời giải: Phương trình: $3(x - 1) - 1(y - 2) = 0$, hay $3x - y - 1 = 0$.

3. Ghi nhớ

• Phương trình tham số: $\begin{cases} x = x_0 + at \ y = y_0 + bt \end{cases}$ với vectơ chỉ phương $\vec{u} = (a; b)$.
• Phương trình tổng quát: $px + qy + r = 0$ với vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (p; q)$.
• $\vec{n} \perp \vec{u}$: từ $\vec{u} = (a; b)$ lấy $\vec{n} = (-b; a)$.
• Hệ số góc $k = \dfrac{b}{a}$; phương trình đoạn chắn $\dfrac{x}{m} + \dfrac{y}{n} = 1$.