Bài 18: Phương trình quy về phương trình bậc hai

1. Kiến thức trọng tâm

Nhiều phương trình không phải bậc hai nhưng có thể đưa về phương trình bậc hai bằng phép biến đổi thích hợp. Hai dạng thường gặp là phương trình chứa căn thức và phương trình chứa ẩn ở mẫu.

Phương trình dạng $\sqrt{ax^2 + bx + c} = dx + e$. Điều kiện xác định: $ax^2 + bx + c \ge 0$ và $dx + e \ge 0$. Bình phương hai vế, ta được phương trình $ax^2 + bx + c = (dx + e)^2$, đây là phương trình bậc hai (hoặc bậc nhất nếu $a = d^2$). Giải phương trình này rồi thử lại vào phương trình ban đầu, chỉ giữ lại các nghiệm thỏa mãn điều kiện.

Phương trình dạng $\sqrt{ax^2 + bx + c} = \sqrt{dx^2 + ex + f}$. Điều kiện xác định: cả hai biểu thức dưới dấu căn đều không âm. Bình phương hai vế, ta được $ax^2 + bx + c = dx^2 + ex + f$, giải rồi thử lại vào điều kiện.

Phương trình chứa ẩn ở mẫu quy về bậc hai: tìm điều kiện xác định (mẫu khác $0$), quy đồng và khử mẫu để được phương trình bậc hai, giải rồi đối chiếu với điều kiện xác định để loại nghiệm ngoại lai.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Giải phương trình $\sqrt{x^2 - 3x + 2} = x - 1$.

Lời giải: Điều kiện: $x^2 - 3x + 2 \ge 0$ và $x - 1 \ge 0$, tức $x \ge 2$. Bình phương hai vế: $x^2 - 3x + 2 = x^2 - 2x + 1$, suy ra $-3x + 2 = -2x + 1$, hay $x = 1$. Nhưng x = 1 < 2 nên loại. Vậy phương trình vô nghiệm.

3. Ghi nhớ

• Phương trình chứa căn: đặt điều kiện (biểu thức dưới căn $\ge 0$, vế còn lại $\ge 0$ nếu là căn đơn).
• Bình phương hai vế để đưa về phương trình bậc hai.
• Luôn thử lại hoặc đối chiếu điều kiện để loại nghiệm ngoại lai.
• Phương trình chứa ẩn ở mẫu: điều kiện mẫu khác $0$, khử mẫu rồi đối chiếu.