Bài 17: Dấu của tam thức bậc hai

1. Kiến thức trọng tâm

Tam thức bậc hai là biểu thức có dạng $f(x) = ax^2 + bx + c$, trong đó $a, b, c$ là các số thực và $a \ne 0$. Nghiệm của tam thức là nghiệm của phương trình $ax^2 + bx + c = 0$. Dấu của tam thức phụ thuộc vào dấu của $a$ và biệt thức $\Delta = b^2 - 4ac$:

• Nếu \Delta < 0: $f(x)$ luôn cùng dấu với $a$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.
• Nếu $\Delta = 0$: $f(x)$ cùng dấu với $a$ với mọi $x \ne -\dfrac{b}{2a}$ và $f\left(-\dfrac{b}{2a}\right) = 0$.
• Nếu \Delta > 0: $f(x)$ có hai nghiệm phân biệt x_1 < x_2. Khi đó $f(x)$ cùng dấu với $a$ khi x < x_1 hoặc x > x_2 (ngoài hai nghiệm), và trái dấu với $a$ khi x_1 < x < x_2 (trong khoảng hai nghiệm). Ghi nhớ bằng câu: "trong trái, ngoài cùng".

Từ đó, để giải bất phương trình bậc hai ax^2 + bx + c > 0 (hoặc < 0, $\ge 0$, $\le 0$), ta xét dấu của tam thức rồi chọn khoảng $x$ thỏa mãn. Các bước: tính $\Delta$, tìm nghiệm (nếu có), lập bảng xét dấu, kết luận tập nghiệm.

Bất phương trình bậc hai xuất hiện trong nhiều bài toán thực tế, như tìm điều kiện để lợi nhuận dương hay xác định tầm bay của vật.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Xét dấu của $f(x) = x^2 - 3x + 2$.

Lời giải: \Delta = 9 - 8 = 1 > 0, hai nghiệm $x_1 = 1$, $x_2 = 2$, a = 1 > 0. Vậy f(x) > 0 khi x < 1 hoặc x > 2; f(x) < 0 khi 1 < x < 2.

Ví dụ 2. Giải bất phương trình $x^2 - 3x + 2 \le 0$.

Lời giải: Từ bảng xét dấu trên, tập nghiệm là $S = [1; 2]$.

3. Ghi nhớ

• \Delta < 0: $f(x)$ luôn cùng dấu với $a$.
• $\Delta = 0$: $f(x)$ cùng dấu với $a$ (trừ tại nghiệm kép).
• \Delta > 0: "trong trái, ngoài cùng" so với $a$.
• Giải bất phương trình bậc hai: tính $\Delta$, tìm nghiệm, lập bảng xét dấu, kết luận.