Bài 16: Hàm số bậc hai

1. Kiến thức trọng tâm

Hàm số bậc hai là hàm số có dạng $y = ax^2 + bx + c$, trong đó $a, b, c$ là các số thực và $a \ne 0$. Tập xác định của hàm số bậc hai là $\mathbb{R}$.

Đồ thị của hàm số bậc hai là một đường parabol có đỉnh $I\left(-\dfrac{b}{2a}; -\dfrac{\Delta}{4a}\right)$ với $\Delta = b^2 - 4ac$, trục đối xứng là đường thẳng $x = -\dfrac{b}{2a}$. Parabol quay bề lõm lên trên nếu a > 0 và quay bề lõm xuống dưới nếu a < 0.

Sự biến thiên của hàm số bậc hai:

• Nếu a > 0: hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(-\infty; -\dfrac{b}{2a}\right)$ và đồng biến trên khoảng $\left(-\dfrac{b}{2a}; +\infty\right)$. Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất $y = -\dfrac{\Delta}{4a}$ tại $x = -\dfrac{b}{2a}$.
• Nếu a < 0: hàm số đồng biến trên khoảng $\left(-\infty; -\dfrac{b}{2a}\right)$ và nghịch biến trên khoảng $\left(-\dfrac{b}{2a}; +\infty\right)$. Hàm số đạt giá trị lớn nhất $y = -\dfrac{\Delta}{4a}$ tại $x = -\dfrac{b}{2a}$.

Để vẽ parabol, ta xác định đỉnh, trục đối xứng, giao điểm với trục tung $(0; c)$, giao điểm với trục hoành (nếu có) bằng cách giải $ax^2 + bx + c = 0$, rồi lấy thêm một vài điểm đối xứng qua trục đối xứng.

Hàm số bậc hai mô tả nhiều hiện tượng thực tế, chẳng hạn quỹ đạo của vật bị ném xiên hay diện tích hình chữ nhật khi biết chu vi.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ. Xét hàm số $y = x^2 - 4x + 3$. Tìm đỉnh và khoảng đồng biến.

Lời giải: Ta có a = 1 > 0, $b = -4$, $c = 3$. Đỉnh $I(2; -1)$ vì $-\dfrac{b}{2a} = 2$ và $y(2) = 4 - 8 + 3 = -1$. Hàm số đồng biến trên $(2; +\infty)$ và đạt giá trị nhỏ nhất $-1$ tại $x = 2$.

3. Ghi nhớ

• Dạng $y = ax^2 + bx + c$ ($a \ne 0$); tập xác định $\mathbb{R}$.
• Đỉnh $I\left(-\dfrac{b}{2a}; -\dfrac{\Delta}{4a}\right)$; trục đối xứng $x = -\dfrac{b}{2a}$.
• a > 0: bề lõm lên trên, có giá trị nhỏ nhất; a < 0: bề lõm xuống dưới, có giá trị lớn nhất.
• Vẽ parabol: xác định đỉnh, trục đối xứng, giao điểm với các trục tọa độ.