Bài 15: Hàm số

1. Kiến thức trọng tâm

Cho tập hợp khác rỗng $D \subset \mathbb{R}$. Hàm số $f$ xác định trên $D$ là một quy tắc đặt tương ứng mỗi số $x \in D$ với duy nhất một số $y \in \mathbb{R}$. Ta viết $y = f(x)$. Tập $D$ gọi là tập xác định của hàm số, $x$ là biến số, $y$ là giá trị của hàm số tại $x$. Ví dụ, hàm số $y = \dfrac{1}{x - 1}$ có tập xác định $D = \mathbb{R} \setminus {1}$.

Đồ thị của hàm số $y = f(x)$ là tập hợp tất cả các điểm $M(x; f(x))$ trong mặt phẳng tọa độ với $x \in D$.

Hàm số $f$ gọi là đồng biến trên khoảng $K$ nếu với mọi $x_1, x_2 \in K$ mà x_1 < x_2 thì f(x_1) < f(x_2); gọi là nghịch biến trên $K$ nếu x_1 < x_2 thì f(x_1) > f(x_2). Trên đồ thị, hàm đồng biến ứng với phần đồ thị "đi lên", hàm nghịch biến ứng với phần đồ thị "đi xuống" khi $x$ tăng.

Hàm số $f$ gọi là chẵn nếu $f(-x) = f(x)$ với mọi $x \in D$ và $D$ đối xứng qua $0$; gọi là lẻ nếu $f(-x) = -f(x)$. Đồ thị hàm chẵn đối xứng qua trục tung, đồ thị hàm lẻ đối xứng qua gốc tọa độ.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tìm tập xác định của hàm số $y = \sqrt{x - 2}$.

Lời giải: Biểu thức có nghĩa khi $x - 2 \ge 0$, tức $x \ge 2$. Vậy $D = [2; +\infty)$.

Ví dụ 2. Xét tính chẵn, lẻ của $f(x) = x^2$.

Lời giải: $f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)$ nên hàm số chẵn.

3. Ghi nhớ

• Hàm số: mỗi $x \in D$ tương ứng duy nhất một $y = f(x)$.
• Tập xác định: nơi biểu thức $f(x)$ có nghĩa; mẫu khác $0$, căn bậc hai có biểu thức dưới dấu căn $\ge 0$.
• Đồng biến: đồ thị đi lên; nghịch biến: đồ thị đi xuống.
• Hàm chẵn: đồ thị đối xứng qua trục tung; hàm lẻ: đối xứng qua gốc tọa độ.