Bài tập ôn tập cuối năm

1. Kiến thức trọng tâm

Ôn tập cuối năm tổng hợp toàn bộ Toán 10: mệnh đề và tập hợp, bất phương trình bậc nhất hai ẩn, hệ thức lượng, vectơ, thống kê, hàm số, phương pháp tọa độ, tổ hợp và xác suất. Về mệnh đề và tập hợp: mệnh đề phủ định, mệnh đề kéo theo, giao, hợp, hiệu. Về bất phương trình bậc nhất hai ẩn: xác định miền nghiệm và giải quy hoạch tuyến tính bằng cách xét biểu thức mục tiêu tại các đỉnh của miền đa giác.

Về hệ thức lượng: định lí côsin, định lí sin và diện tích $S = \frac{1}{2} ab \sin C = \frac{abc}{4R} = pr$ . Về vectơ: quy tắc cộng trừ, tích vô hướng, tọa độ để tính độ dài, góc, trung điểm, trọng tâm. Về thống kê: số trung bình, trung vị, tứ phân vị, phương sai, độ lệch chuẩn và ý nghĩa của chúng. Về hàm số: đồ thị parabol, dấu tam thức bậc hai, phương trình chứa căn. Về tọa độ: phương trình đường thẳng, đường tròn, ba đường conic. Về tổ hợp và xác suất: hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp và $P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)}$ .

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho tam giác $ABC$ có $AB = 6$ , $AC = 8$ , $\widehat{A} = 120^\circ$ . Tính $BC$ .

Giải. Áp dụng định lí côsin: $BC^2 = 6^2 + 8^2 - 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \cos 120^\circ = 36 + 64 - 96 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 148$ . Vậy $BC = \sqrt{148} = 2\sqrt{37}$ .

Ví dụ 2. Từ $7$ học sinh ( $3$ nữ, $4$ nam), chọn $3$ người trực nhật (không phân biệt thứ tự) có bao nhiêu cách? Nếu phải có đúng $1$ nữ thì có bao nhiêu cách?

Giải. Số cách chọn $3$ người trong $7$ người là $C_7^3 = 35$ . Với điều kiện đúng $1$ nữ và $2$ nam: chọn $1$ nữ có $C_3^1 = 3$ cách, chọn $2$ nam có $C_4^2 = 6$ cách, theo quy tắc nhân được $3 \cdot 6 = 18$ cách.

3. Ghi nhớ

Ôn tập theo sơ đồ tư duy từng chương, rồi luyện đề tổng hợp.
Mỗi công thức nên nhớ kèm điều kiện áp dụng và một ví dụ điển hình.
Khi làm bài tổng hợp, đọc kĩ đề, xác định chương kiến thức liên quan trước khi chọn phương pháp giải.

1. Kiến thức trọng tâm

Về hệ thức lượng: định lí côsin, định lí sin và diện tích

S = \frac{1}{2} ab \sin C = \frac{abc}{4R} = pr

. Về vectơ: quy tắc cộng trừ, tích vô hướng, tọa độ để tính độ dài, góc, trung điểm, trọng tâm. Về thống kê: số trung bình, trung vị, tứ phân vị, phương sai, độ lệch chuẩn và ý nghĩa của chúng. Về hàm số: đồ thị parabol, dấu tam thức bậc hai, phương trình chứa căn. Về tọa độ: phương trình đường thẳng, đường tròn, ba đường conic. Về tổ hợp và xác suất: hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp và

P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)}

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho tam giác

ABC

có

AB = 6

AC = 8

\widehat{A} = 120^\circ

. Tính

BC

Giải. Áp dụng định lí côsin:

BC^2 = 6^2 + 8^2 - 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \cos 120^\circ = 36 + 64 - 96 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 148

. Vậy

BC = \sqrt{148} = 2\sqrt{37}

Ví dụ 2. Từ

7

học sinh (

3

nữ,

4

nam), chọn

3

người trực nhật (không phân biệt thứ tự) có bao nhiêu cách? Nếu phải có đúng

1

nữ thì có bao nhiêu cách?

Giải. Số cách chọn

3

người trong

7

người là

C_7^3 = 35

. Với điều kiện đúng

1

nữ và

2

nam: chọn

1

nữ có

C_3^1 = 3

cách, chọn

2

nam có

C_4^2 = 6

cách, theo quy tắc nhân được

3 \cdot 6 = 18

cách.

3. Ghi nhớ

Ôn tập theo sơ đồ tư duy từng chương, rồi luyện đề tổng hợp.

Mỗi công thức nên nhớ kèm điều kiện áp dụng và một ví dụ điển hình.

Khi làm bài tổng hợp, đọc kĩ đề, xác định chương kiến thức liên quan trước khi chọn phương pháp giải.