Bài 1: Mệnh đề

1. Kiến thức trọng tâm

Mệnh đề là một câu khẳng định đúng hoặc sai, nhưng không thể vừa đúng vừa sai. Chẳng hạn, câu "$3 + 2 = 5$" là mệnh đề đúng, câu "$7$ là số chẵn" là mệnh đề sai, còn câu "Hôm nay trời đẹp quá!" không phải là mệnh đề vì không xác định được tính đúng sai.

Mệnh đề phủ định của mệnh đề $P$ là mệnh đề "không phải $P$", kí hiệu $\bar{P}$. Nếu $P$ đúng thì $\bar{P}$ sai và ngược lại. Mệnh đề kéo theo $P \Rightarrow Q$ có nghĩa là "nếu $P$ thì $Q$". Mệnh đề này chỉ sai khi $P$ đúng mà $Q$ sai; các trường hợp còn lại đều đúng.

Mệnh đề đảo của $P \Rightarrow Q$ là $Q \Rightarrow P$. Nếu cả hai đều đúng thì $P$ và $Q$ tương đương nhau, kí hiệu $P \Leftrightarrow Q$. Mệnh đề chứa biến là câu khẳng định có chứa biến, trở thành mệnh đề khi thay biến bằng giá trị cụ thể. Mệnh đề chứa lượng từ "với mọi" ($\forall$) và "tồn tại" ($\exists$) giúp diễn đạt các khẳng định tổng quát.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

a) "$\sqrt{2}$ là số vô tỉ." b) "$(-3)^2 = -9$." c) "Với mọi số tự nhiên $n$, $n^2 + 1$ chia hết cho $2$."

Giải.

a) Đúng, vì $\sqrt{2}$ không viết được dưới dạng phân số. b) Sai, vì $(-3)^2 = 9$. c) Sai, vì với $n = 1$ thì $n^2 + 1 = 2$ chia hết cho $2$, nhưng với $n = 2$ thì $n^2 + 1 = 5$ không chia hết cho $2$.

Ví dụ 2. Lập mệnh đề phủ định của mệnh đề $P$: "Mọi hình vuông đều là hình chữ nhật."

Giải. $\bar{P}$: "Tồn tại ít nhất một hình vuông không phải là hình chữ nhật." Mệnh đề này sai vì $P$ đúng.

3. Ghi nhớ

• Mệnh đề phải xác định được tính đúng hoặc sai.
• Mệnh đề kéo theo $P \Rightarrow Q$ chỉ sai khi $P$ đúng, $Q$ sai.
• Phủ định của "với mọi" là "tồn tại", và ngược lại.