Bài tập cuối chương 1

1. Kiến thức trọng tâm

Chương 1 tổng kết mệnh đề và tập hợp. Mệnh đề là câu khẳng định có tính đúng hoặc sai, không thể vừa đúng vừa sai. Mệnh đề phủ định của $P$ là "không phải $P$", kí hiệu $\bar{P}$, có tính đúng sai ngược lại với $P$. Mệnh đề kéo theo $P \Rightarrow Q$ chỉ sai khi $P$ đúng và $Q$ sai; mệnh đề tương đương $P \Leftrightarrow Q$ đúng khi $P$ và $Q$ cùng đúng hoặc cùng sai. Mệnh đề chứa biến trở thành mệnh đề khi thay biến bằng giá trị cụ thể. Phủ định của mệnh đề chứa $\forall$ (với mọi) là mệnh đề chứa $\exists$ (tồn tại), và ngược lại.

Tập hợp có thể cho bằng cách liệt kê phần tử hoặc nêu tính chất đặc trưng. Kí hiệu $a \in A$ nghĩa là $a$ thuộc $A$; $A \subset B$ nghĩa là mọi phần tử của $A$ đều thuộc $B$. Tập rỗng $\varnothing$ không có phần tử nào. Các phép toán gồm giao $A \cap B$, hợp $A \cup B$, hiệu $A \setminus B$ và phần bù $C_A B$ khi $B \subset A$.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho A = {x \in \mathbb{Z} \mid -2 \le x < 3} và $B = {0; 1; 2; 3; 4}$. Tìm $A \cap B$ và $A \cup B$.

Giải. Liệt kê $A = {-2; -1; 0; 1; 2}$. Phần tử chung của $A$ và $B$ là $0; 1; 2$ nên $A \cap B = {0; 1; 2}$. Hợp hai tập hợp gồm mọi phần tử thuộc ít nhất một trong hai tập: $A \cup B = {-2; -1; 0; 1; 2; 3; 4}$.

Ví dụ 2. Viết mệnh đề phủ định của $P$: "Mọi số tự nhiên đều lớn hơn $0$" và xét tính đúng sai.

Giải. Phủ định của $P$ là $\bar{P}$: "Tồn tại số tự nhiên không lớn hơn $0$". Vì $0$ là số tự nhiên và $0$ không lớn hơn $0$, nên $\bar{P}$ đúng, suy ra $P$ sai.

3. Ghi nhớ

• $P \Rightarrow Q$ chỉ sai khi $P$ đúng, $Q$ sai; phủ định của "$\forall$" là "$\exists$".
• Giao lấy phần chung, hợp lấy tất cả, hiệu lấy phần thuộc tập này mà không thuộc tập kia.
• Nên liệt kê phần tử hoặc vẽ sơ đồ Venn để tránh thiếu phần tử.