Bài 2: Tập hợp và các phép toán trên tập hợp

1. Kiến thức trọng tâm

Tập hợp là một khái niệm cơ bản của toán học, gồm các đối tượng gọi là phần tử. Nếu $a$ là phần tử của tập hợp $A$ ta viết $a \in A$; nếu không phải ta viết $a \notin A$. Tập hợp thường được cho bằng cách liệt kê các phần tử hoặc chỉ ra tính chất đặc trưng của chúng. Tập rỗng, kí hiệu $\varnothing$, là tập hợp không chứa phần tử nào.

Tập hợp $A$ là tập con của $B$, kí hiệu $A \subset B$, nếu mọi phần tử của $A$ đều thuộc $B$. Hai tập hợp bằng nhau khi chúng có cùng các phần tử.

Các phép toán trên tập hợp gồm: giao $A \cap B$ (các phần tử thuộc cả $A$ và $B$), hợp $A \cup B$ (các phần tử thuộc $A$ hoặc $B$), hiệu $A \setminus B$ (các phần tử thuộc $A$ nhưng không thuộc $B$). Nếu $A \subset E$ thì phần bù của $A$ trong $E$ là $C_E A = E \setminus A$.

Các tập hợp số thường gặp: $\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}$ và các tập con của $\mathbb{R}$ như đoạn $[a; b]$, khoảng $(a; b)$, nửa khoảng $[a; b)$.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho $A = {1; 2; 3; 4}$, $B = {3; 4; 5; 6}$. Tìm $A \cap B$, $A \cup B$, $A \setminus B$.

Giải. $A \cap B = {3; 4}$ vì $3$ và $4$ thuộc cả hai tập hợp. $A \cup B = {1; 2; 3; 4; 5; 6}$, mỗi phần tử chỉ viết một lần. $A \setminus B = {1; 2}$ vì $1$ và $2$ thuộc $A$ nhưng không thuộc $B$.

Ví dụ 2. Cho $A = [1; 4]$, $B = (2; 6)$. Tìm $A \cap B$ và $A \cup B$.

Giải. $A \cap B = (2; 4]$, gồm các số thực lớn hơn $2$ và không vượt quá $4$. $A \cup B = [1; 6)$, gồm các số thực từ $1$ đến nhỏ hơn $6$.

3. Ghi nhớ

• Giao lấy phần chung, hợp lấy tất cả, hiệu lấy phần riêng.
• Khi viết hợp hai tập hợp, phần tử chung chỉ viết một lần.
• Chú ý đầu mút của đoạn, khoảng: $[ ]$ lấy đầu mút, $( )$ không lấy đầu mút.