Bài tập cuối chương 2

1. Kiến thức trọng tâm

Chương 2 xoay quanh bất phương trình bậc nhất hai ẩn và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $ax + by \le c$ (hoặc <, >, \ge), trong đó $a, b$ không đồng thời bằng $0$. Miền nghiệm của nó là một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng $ax + by = c$, kể cả bờ nếu dấu bất đẳng thức có dấu bằng, không kể bờ nếu không có dấu bằng. Để xác định miền nghiệm, thay tọa độ một điểm không thuộc đường bờ (thường là $O(0; 0)$) vào bất phương trình: nếu thỏa mãn, miền nghiệm là nửa mặt phẳng chứa điểm đó; nếu không, là nửa còn lại.

Miền nghiệm của hệ là giao của các miền nghiệm của từng bất phương trình thành phần, thường là một đa giác. Bài toán quy hoạch tuyến tính tìm giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) của $F(x; y) = ax + by$ trên miền nghiệm; trên miền đa giác bị chặn, giá trị đó đạt tại một đỉnh.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tìm miền nghiệm của bất phương trình $x - 2y \le 2$.

Giải. Vẽ đường thẳng $d: x - 2y = 2$, đi qua $(2; 0)$ và $(0; -1)$. Thay $O(0; 0)$ vào bất phương trình: $0 - 2 \cdot 0 = 0 \le 2$, đúng. Vậy miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ $d$ chứa điểm $O$, kể cả bờ $d$.

Ví dụ 2. Tìm giá trị lớn nhất của $F(x; y) = 2x + 3y$ trên miền nghiệm của hệ $\begin{cases} x \ge 0 \ y \ge 0 \ x + y \le 4 \end{cases}$.

Giải. Miền nghiệm là tam giác $OAB$ với $O(0; 0)$, $A(4; 0)$, $B(0; 4)$. Tính $F$ tại các đỉnh: $F(0; 0) = 0$, $F(4; 0) = 8$, $F(0; 4) = 12$. Vậy giá trị lớn nhất của $F$ là $12$, đạt tại $(0; 4)$.

3. Ghi nhớ

• Vẽ đúng đường bờ: nét liền khi có dấu bằng, nét đứt khi không có dấu bằng.
• Miền nghiệm của hệ là giao các miền thành phần; cực trị của $F$ đạt tại một đỉnh.
• Bài toán thực tế: đặt ẩn, lập hệ và biểu thức mục tiêu trước khi giải.