Bài 3: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

1. Kiến thức trọng tâm

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn là bất phương trình có dạng $ax + by \le c$ (hoặc ax + by < c, ax + by > c, $ax + by \ge c$), trong đó $a, b, c$ là các số thực cho trước, $a$ và $b$ không đồng thời bằng $0$; $x, y$ là hai ẩn. Cặp số $(x_0; y_0)$ được gọi là nghiệm của bất phương trình nếu khi thay $x = x_0$, $y = y_0$ vào ta được bất đẳng thức đúng.

Trong mặt phẳng tọa độ, tập nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn là một nửa mặt phẳng (kể cả bờ nếu dấu $\le$ hoặc $\ge$).

Cách biểu diễn miền nghiệm: vẽ đường thẳng $ax + by = c$ (nét liền nếu có dấu bằng, nét đứt nếu không có dấu bằng), rồi chọn một điểm không thuộc đường thẳng, thường là gốc tọa độ $O(0; 0)$, để thử. Nếu điểm thử thỏa mãn bất phương trình thì miền nghiệm là nửa mặt phẳng chứa điểm đó; nếu không thỏa mãn thì miền nghiệm là nửa mặt phẳng còn lại.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình $2x + y \le 4$.

Giải. Vẽ đường thẳng $2x + y = 4$. Đường thẳng này đi qua hai điểm $(2; 0)$ và $(0; 4)$, vẽ nét liền vì có dấu bằng. Lấy điểm $O(0; 0)$ thử: $2 \cdot 0 + 0 = 0 \le 4$ đúng. Vậy miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng $2x + y = 4$ chứa gốc tọa độ $O$.

Ví dụ 2. Cặp số $(1; 2)$ có phải là nghiệm của bất phương trình x - 3y > 1 không?

Giải. Thay $x = 1$, $y = 2$ vào vế trái: $1 - 3 \cdot 2 = -5$. Vì -5 > 1 là sai nên $(1; 2)$ không phải là nghiệm.

3. Ghi nhớ

• Miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn là một nửa mặt phẳng.
• Nét liền khi có dấu $=$, nét đứt khi không có dấu $=$.
• Điểm thử $O(0; 0)$ rất tiện khi đường thẳng không qua gốc tọa độ.