Bài tập cuối chương 3

1. Kiến thức trọng tâm

Chương 3 trình bày giá trị lượng giác của một góc từ $0^\circ$ đến $180^\circ$ và hệ thức lượng trong tam giác. Với góc $\alpha$ thỏa mãn $0^\circ \le \alpha \le 180^\circ$, ta định nghĩa $\sin \alpha$, $\cos \alpha$, $\tan \alpha$, $\cot \alpha$ dựa trên nửa đường tròn đơn vị. Cần nhớ các giá trị đặc biệt của $0^\circ$, $30^\circ$, $45^\circ$, $60^\circ$, $90^\circ$, $120^\circ$, $135^\circ$, $150^\circ$, $180^\circ$. Công thức quan trọng là $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ và công thức liên hệ giữa hai góc bù nhau: $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha$, $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha$.

Định lí côsin: trong tam giác $ABC$, ta có $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$, cùng hai công thức tương tự cho $b^2$ và $c^2$. Định lí này dùng để tính cạnh khi biết hai cạnh và góc xen giữa, hoặc tính góc khi biết ba cạnh. Định lí sin: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$, trong đó $R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác. Công thức tính diện tích: $S = \frac{1}{2} ab \sin C = \frac{abc}{4R} = pr = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, trong đó $p$ là nửa chu vi, $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho tam giác $ABC$ có $AB = 5$, $AC = 8$, $\widehat{A} = 60^\circ$. Tính $BC$ và diện tích tam giác.

Giải. Áp dụng định lí côsin: $BC^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos 60^\circ = 25 + 64 - 40 = 49$. Vậy $BC = 7$. Diện tích $S = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 8 \cdot \sin 60^\circ = 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}$.

Ví dụ 2. Cho tam giác $ABC$ có $a = 10$, $\widehat{A} = 30^\circ$. Tính bán kính $R$ của đường tròn ngoại tiếp.

Giải. Theo định lí sin, $2R = \frac{a}{\sin A} = \frac{10}{\sin 30^\circ} = \frac{10}{1/2} = 20$, suy ra $R = 10$.

3. Ghi nhớ

• $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$; góc bù nhau có sin bằng nhau, cos đối nhau.
• Biết hai cạnh và góc xen giữa dùng định lí côsin; biết một cạnh và hai góc dùng định lí sin.
• Khi tính diện tích, chọn công thức phù hợp với dữ kiện đã cho.