Bài 4: Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

1. Kiến thức trọng tâm

Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ gồm hai hay nhiều bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Cặp số $(x_0; y_0)$ là nghiệm của hệ nếu nó đồng thời là nghiệm của tất cả các bất phương trình trong hệ. Miền nghiệm của hệ là giao của các miền nghiệm của từng bất phương trình thành phần.

Để biểu diễn miền nghiệm của hệ, ta vẽ trên cùng một mặt phẳng tọa độ các đường thẳng ứng với từng bất phương trình, xác định miền nghiệm của mỗi bất phương trình, rồi lấy phần giao chung của chúng.

Bài toán quy hoạch tuyến tính là bài toán tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của biểu thức $F = ax + by$ trên miền nghiệm của hệ. Khi miền nghiệm là một miền đa giác lồi, giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của $F$ đạt được tại một trong các đỉnh của miền đa giác đó.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Biểu diễn miền nghiệm của hệ $\begin{cases} x \ge 0 \ y \ge 0 \ x + y \le 4 \end{cases}$.

Giải. Miền $x \ge 0$ là nửa mặt phẳng bên phải trục $Oy$ (kể cả trục $Oy$). Miền $y \ge 0$ là nửa mặt phẳng phía trên trục $Ox$ (kể cả trục $Ox$). Miền $x + y \le 4$ là nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng $x + y = 4$ chứa gốc $O$. Giao của ba miền là hình tam giác (kể cả biên) với các đỉnh $(0; 0)$, $(4; 0)$ và $(0; 4)$.

Ví dụ 2. Tìm giá trị lớn nhất của $F = x + 2y$ trên miền nghiệm của hệ ở ví dụ 1.

Giải. Tính $F$ tại các đỉnh: tại $(0; 0)$ thì $F = 0$; tại $(4; 0)$ thì $F = 4$; tại $(0; 4)$ thì $F = 8$. Vậy giá trị lớn nhất của $F$ là $8$, đạt tại $(0; 4)$.

3. Ghi nhớ

• Miền nghiệm của hệ là giao của các miền nghiệm thành phần.
• Vẽ tất cả các đường thẳng trên cùng một hình để xác định phần giao.
• Trong quy hoạch tuyến tính, chỉ cần tính hàm mục tiêu tại các đỉnh của miền đa giác.