Bài tập cuối chương 4

1. Kiến thức trọng tâm

Chương 4 giới thiệu vectơ và các phép toán trên vectơ. Vectơ là một đoạn thẳng có hướng, có điểm đầu, điểm cuối, giá và độ dài. Hai vectơ bằng nhau khi cùng hướng và cùng độ dài; vectơ không $\vec{0}$ có độ dài bằng $0$. Tổng hai vectơ xác định bằng quy tắc ba điểm hoặc quy tắc hình bình hành. Hiệu $\vec{a} - \vec{b}$ là tổng của $\vec{a}$ với vectơ đối của $\vec{b}$. Tích $k\vec{a}$ cùng hướng với $\vec{a}$ nếu k > 0, ngược hướng nếu k < 0, độ dài $|k| \cdot |\vec{a}|$. Điều kiện để ba điểm $A, B, C$ thẳng hàng là tồn tại số $k$ sao cho $\overrightarrow{AB} = k \overrightarrow{AC}$.

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, vectơ $\vec{u} = (x; y)$ có độ dài $|\vec{u}| = \sqrt{x^2 + y^2}$. Nếu $A(x_A; y_A)$ và $B(x_B; y_B)$ thì $\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A)$. Trung điểm $M$ của đoạn thẳng $AB$ có tọa độ $M\left(\frac{x_A + x_B}{2}; \frac{y_A + y_B}{2}\right)$. Trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$: $G\left(\frac{x_A + x_B + x_C}{3}; \frac{y_A + y_B + y_C}{3}\right)$. Tích vô hướng của $\vec{a} = (x_1; y_1)$ và $\vec{b} = (x_2; y_2)$ là $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2 = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\vec{a}, \vec{b})$. Hai vectơ khác $\vec{0}$ vuông góc với nhau khi và chỉ khi tích vô hướng của chúng bằng $0$.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho $A(1; 2)$, $B(4; 6)$. Tính $\overrightarrow{AB}$, độ dài $AB$ và tọa độ trung điểm $M$ của $AB$.

Giải. $\overrightarrow{AB} = (4 - 1; 6 - 2) = (3; 4)$. Độ dài $AB = |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$. Trung điểm $M$ có tọa độ $\left(\frac{1 + 4}{2}; \frac{2 + 6}{2}\right) = (2,5; 4)$.

Ví dụ 2. Cho $\vec{a} = (2; -1)$, $\vec{b} = (1; 3)$. Tính $\vec{a} \cdot \vec{b}$ và xét xem hai vectơ có vuông góc không.

Giải. $\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 1 + (-1) \cdot 3 = 2 - 3 = -1 \ne 0$, nên $\vec{a}$ và $\vec{b}$ không vuông góc.

3. Ghi nhớ

• Vectơ có hướng, độ dài là số không âm; vectơ không có độ dài bằng $0$.
• Quy tắc ba điểm: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$.
• Tích vô hướng bằng $0$ là điều kiện vuông góc; tích vô hướng còn dùng để tính góc.