Bài 5: Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180°

1. Kiến thức trọng tâm

Trên nửa đường tròn đơn vị (bán kính bằng $1$), mỗi góc $\alpha$ với $0^\circ \le \alpha \le 180^\circ$ xác định một điểm $M(x_0; y_0)$. Ta định nghĩa: $\sin \alpha = y_0$, $\cos \alpha = x_0$, $\tan \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$ (với $\cos \alpha \ne 0$), $\cot \alpha = \dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$ (với $\sin \alpha \ne 0$).

Bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt $0^\circ, 30^\circ, 45^\circ, 60^\circ, 90^\circ, 120^\circ, 135^\circ, 150^\circ, 180^\circ$ cần được ghi nhớ. Chẳng hạn: $\sin 0^\circ = 0$, $\sin 90^\circ = 1$, $\cos 0^\circ = 1$, $\cos 90^\circ = 0$, $\cos 180^\circ = -1$, $\sin 180^\circ = 0$.

Hai góc bù nhau (tổng bằng $180^\circ$) có mối liên hệ: $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha$, $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha$, $\tan(180^\circ - \alpha) = -\tan \alpha$, $\cot(180^\circ - \alpha) = -\cot \alpha$. Nhờ đó, giá trị lượng giác của góc tù được đưa về góc nhọn.

Hệ thức lượng giác cơ bản: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, $1 + \tan^2 \alpha = \dfrac{1}{\cos^2 \alpha}$ (khi $\cos \alpha \ne 0$), $1 + \cot^2 \alpha = \dfrac{1}{\sin^2 \alpha}$ (khi $\sin \alpha \ne 0$).

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính $\sin 120^\circ$, $\cos 150^\circ$, $\tan 135^\circ$.

Giải. $\sin 120^\circ = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$. $\cos 150^\circ = \cos(180^\circ - 30^\circ) = -\cos 30^\circ = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$. $\tan 135^\circ = \tan(180^\circ - 45^\circ) = -\tan 45^\circ = -1$.

Ví dụ 2. Biết $\sin \alpha = \dfrac{3}{5}$ và 90^\circ < \alpha < 180^\circ. Tính $\cos \alpha$.

Giải. Từ $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ suy ra $\cos^2 \alpha = 1 - \dfrac{9}{25} = \dfrac{16}{25}$, nên $\cos \alpha = \pm \dfrac{4}{5}$. Vì $\alpha$ là góc tù nên \cos \alpha < 0, do đó $\cos \alpha = -\dfrac{4}{5}$.

3. Ghi nhớ

• Với $0^\circ \le \alpha \le 180^\circ$, $\sin \alpha \ge 0$; $\cos \alpha$ đổi dấu tại $90^\circ$.
• Hai góc bù nhau: sin bằng nhau, cos và tan đối nhau.
• Dùng hệ thức $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ để tìm giá trị lượng giác còn lại.