Bài tập cuối chương 5

1. Kiến thức trọng tâm

Chương 5 nghiên cứu các số đặc trưng của mẫu số liệu không ghép nhóm. Sai số tuyệt đối là $|\bar{a} - a|$; sai số tương đối là tỉ số giữa sai số tuyệt đối và $|a|$. Các số đo xu thế trung tâm gồm số trung bình $\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}$, trung vị $M_e$ (giá trị ở giữa khi sắp xếp mẫu) và mốt $M_o$ (giá trị xuất hiện nhiều nhất). Số trung bình nhạy cảm với giá trị bất thường; trung vị ít bị ảnh hưởng hơn.

Các số đo độ phân tán gồm khoảng biến thiên $R = \max - \min$, khoảng tứ phân vị $\Delta_Q = Q_3 - Q_1$, phương sai $s^2 = \frac{1}{n}\sum (x_i - \bar{x})^2$ và độ lệch chuẩn $s = \sqrt{s^2}$. Tứ phân vị chia mẫu đã sắp xếp thành bốn phần bằng nhau: $Q_1$ là trung vị nửa dưới, $Q_2$ là trung vị, $Q_3$ là trung vị nửa trên. Phương sai và độ lệch chuẩn càng nhỏ thì số liệu càng tập trung quanh số trung bình. Khi so sánh độ phân tán, dùng cùng một loại số đặc trưng trên các mẫu cùng đơn vị đo.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho mẫu số liệu $2; 5; 6; 8; 9$. Tính số trung bình, trung vị và phương sai.

Giải. Số trung bình $\bar{x} = \frac{2 + 5 + 6 + 8 + 9}{5} = 6$. Giá trị ở giữa là $6$ nên $M_e = 6$. Phương sai $s^2 = \frac{(2-6)^2 + (5-6)^2 + (6-6)^2 + (8-6)^2 + (9-6)^2}{5} = \frac{16 + 1 + 0 + 4 + 9}{5} = 6$.

Ví dụ 2. Cho mẫu số liệu $1; 3; 4; 4; 5; 6; 9$. Tìm các tứ phân vị.

Giải. $n = 7$ nên $Q_2 = 4$ (giá trị thứ tư). Nửa dưới $1; 3; 4$ cho $Q_1 = 3$; nửa trên $5; 6; 9$ cho $Q_3 = 6$. Khoảng tứ phân vị $\Delta_Q = 6 - 3 = 3$.

3. Ghi nhớ

• Trung vị và mốt ít bị ảnh hưởng bởi giá trị bất thường.
• Tính tứ phân vị phải sắp xếp mẫu tăng dần trước.
• Phương sai là trung bình bình phương các độ lệch; độ lệch chuẩn cùng đơn vị với số liệu gốc.