Bài 6: Hệ thức lượng trong tam giác

1. Kiến thức trọng tâm

Cho tam giác $ABC$ với các cạnh đối diện các góc $A, B, C$ lần lượt là $a, b, c$, bán kính đường tròn ngoại tiếp là $R$, bán kính đường tròn nội tiếp là $r$, nửa chu vi là $p = \dfrac{a + b + c}{2}$ và diện tích là $S$.

Định lí côsin: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$, $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B$, $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$. Định lí này dùng để tính một cạnh khi biết hai cạnh và góc xen giữa, hoặc tính một góc khi biết ba cạnh.

Định lí sin: $\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R$. Định lí này dùng để tính một cạnh khi biết một góc và một cạnh, hoặc tính góc khi biết hai cạnh và một góc đối diện.

Các công thức tính diện tích tam giác: $S = \dfrac{1}{2}bc \sin A = \dfrac{1}{2}ac \sin B = \dfrac{1}{2}ab \sin C$; $S = \dfrac{abc}{4R}$; $S = pr$; công thức Heron $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho tam giác $ABC$ có $b = 5$, $c = 7$, $\widehat{A} = 60^\circ$. Tính cạnh $a$.

Giải. Áp dụng định lí côsin: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A = 25 + 49 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \cos 60^\circ = 74 - 70 \cdot \dfrac{1}{2} = 39$. Vậy $a = \sqrt{39}$.

Ví dụ 2. Cho tam giác $ABC$ có $a = 6$, $\widehat{A} = 30^\circ$, $\widehat{B} = 45^\circ$. Tính cạnh $b$ và bán kính $R$ của đường tròn ngoại tiếp.

Giải. Theo định lí sin: $\dfrac{b}{\sin 45^\circ} = \dfrac{a}{\sin 30^\circ} = \dfrac{6}{1/2} = 12$. Suy ra $b = 12 \cdot \sin 45^\circ = 12 \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}$. Vì $\dfrac{a}{\sin A} = 2R$ nên $2R = 12$, do đó $R = 6$.

3. Ghi nhớ

• Biết hai cạnh và góc xen giữa thì dùng định lí côsin.
• Biết một cạnh và hai góc thì dùng định lí sin.
• Diện tích tam giác có nhiều công thức; chọn công thức phù hợp với dữ kiện đã cho.