Bài tập cuối chương 6

1. Kiến thức trọng tâm

Chương 6 trình bày hàm số, hàm số bậc hai, dấu của tam thức bậc hai và phương trình quy về phương trình bậc hai. Hàm số $y = f(x)$ xác định trên tập $D$ gán mỗi $x \in D$ với đúng một giá trị $y$; tập xác định là tập các $x$ mà $f(x)$ có nghĩa. Hàm số đồng biến trên một khoảng khi x_1 < x_2 kéo theo f(x_1) < f(x_2); nghịch biến khi f(x_1) > f(x_2).

Hàm số bậc hai $y = ax^2 + bx + c$ ($a \ne 0$) có đồ thị là parabol đỉnh $I\left(-\frac{b}{2a}; -\frac{\Delta}{4a}\right)$, trục đối xứng $x = -\frac{b}{2a}$, $\Delta = b^2 - 4ac$. Nếu a > 0, parabol quay bề lõm lên trên, hàm số nghịch biến rồi đồng biến qua $-\frac{b}{2a}$; nếu a < 0 thì ngược lại. Dấu tam thức $f(x) = ax^2 + bx + c$: \Delta < 0 thì $f(x)$ cùng dấu với $a$ với mọi $x$; $\Delta = 0$ thì $f(x)$ cùng dấu với $a$ với mọi $x \ne -\frac{b}{2a}$; \Delta > 0 thì $f(x)$ trái dấu với $a$ trong khoảng hai nghiệm, cùng dấu với $a$ ngoài khoảng hai nghiệm. Phương trình $\sqrt{ax^2 + bx + c} = dx + e$: bình phương hai vế kèm điều kiện $dx + e \ge 0$.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tìm đỉnh và trục đối xứng của parabol $y = x^2 - 4x + 3$.

Giải. Hoành độ đỉnh $x_I = -\frac{-4}{2} = 2$, tung độ $y_I = 2^2 - 4 \cdot 2 + 3 = -1$. Vậy đỉnh $I(2; -1)$, trục đối xứng $x = 2$; a > 0 nên parabol quay bề lõm lên trên.

Ví dụ 2. Xét dấu tam thức $f(x) = x^2 - 3x + 2$.

Giải. \Delta = 1 > 0, hai nghiệm $x = 1$ và $x = 2$. Vì a = 1 > 0 nên f(x) < 0 khi 1 < x < 2, f(x) > 0 khi x < 1 hoặc x > 2.

3. Ghi nhớ

• Đỉnh parabol: $x_I = -\frac{b}{2a}$, $y_I = f(x_I)$; dấu của $a$ quyết định bề lõm.
• \Delta > 0: "trong trái, ngoài cùng" — trong khoảng hai nghiệm trái dấu với $a$.
• Phương trình chứa căn: đặt điều kiện, bình phương, thử lại nghiệm.