Bài 7: Các khái niệm mở đầu

1. Kiến thức trọng tâm

Vectơ là một đoạn thẳng có hướng. Vectơ có điểm đầu là $A$, điểm cuối là $B$ được kí hiệu là $\overrightarrow{AB}$. Độ dài của vectơ $\overrightarrow{AB}$ là độ dài đoạn thẳng $AB$, kí hiệu $|\overrightarrow{AB}|$. Giá của vectơ là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của nó.

Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau. Hai vectơ cùng phương thì có thể cùng hướng hoặc ngược hướng. Hai vectơ được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài, kí hiệu $\vec{a} = \vec{b}$.

Vectơ-không, kí hiệu $\vec{0}$, là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau. Vectơ-không có độ dài bằng $0$, cùng phương và cùng hướng với mọi vectơ. Vectơ đối của vectơ $\vec{a}$ là vectơ có cùng độ dài nhưng ngược hướng với $\vec{a}$, kí hiệu $-\vec{a}$.

Hai vectơ bằng nhau thì chúng có cùng độ dài và cùng hướng, nhưng điểm đặt của chúng có thể khác nhau. Trong nhiều bài toán, ta có thể dịch chuyển vectơ đến vị trí thuận tiện mà không làm thay đổi vectơ.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho hình bình hành $ABCD$ tâm $O$. Liệt kê các vectơ bằng vectơ $\overrightarrow{AB}$.

Giải. Trong hình bình hành $ABCD$, ta có $DC$ song song và bằng $AB$, đồng thời $\overrightarrow{DC}$ cùng hướng với $\overrightarrow{AB}$ nên $\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB}$. Vậy vectơ bằng $\overrightarrow{AB}$ là $\overrightarrow{DC}$.

Ví dụ 2. Cho tam giác đều $ABC$ cạnh $2$. Tính $|\overrightarrow{AB}|$ và $|\overrightarrow{BC}|$.

Giải. $|\overrightarrow{AB}|$ là độ dài đoạn thẳng $AB$, bằng $2$. Tương tự, $|\overrightarrow{BC}| = 2$.

Ví dụ 3. Cho đoạn thẳng $AB$. Vectơ nào có điểm đầu là $A$, điểm cuối là $A$?

Giải. Đó là vectơ-không $\overrightarrow{AA} = \vec{0}$, có độ dài bằng $0$.

3. Ghi nhớ

• Vectơ có hướng; đoạn thẳng thì không.
• Hai vectơ bằng nhau khi cùng hướng và cùng độ dài.
• Vectơ-không có độ dài bằng $0$ và cùng hướng với mọi vectơ.