Bài tập cuối chương 7

1. Kiến thức trọng tâm

Chương 7: phương pháp tọa độ trong mặt phẳng — đường thẳng, đường tròn, ba đường conic. Đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}$ và vectơ pháp tuyến $\vec{n} \perp \vec{u}$. Đường thẳng qua $M(x_0; y_0)$, vectơ chỉ phương $\vec{u} = (a; b)$ có phương trình tham số $\begin{cases} x = x_0 + at \ y = y_0 + bt \end{cases}$. Phương trình tổng quát: $ax + by + c = 0$, vectơ pháp tuyến $(a; b)$. Hai đường thẳng song song khi các vectơ pháp tuyến cùng phương nhưng không cùng đường thẳng; vuông góc khi tích vô hướng hai vectơ pháp tuyến bằng $0$. Góc giữa hai đường thẳng tính qua cosin góc giữa hai vectơ pháp tuyến. Khoảng cách từ $M(x_0; y_0)$ đến $ax + by + c = 0$: $d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$.

Đường tròn tâm $I(a; b)$, bán kính $R$: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, hay $x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0$ với $c = a^2 + b^2 - R^2$, a^2 + b^2 - c > 0. Ba đường conic: elip $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ (a > b > 0), hypebol $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$, parabol $y^2 = 2px$ (p > 0). Mỗi đường conic có tiêu điểm, đỉnh và trục đối xứng riêng.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng qua $A(1; 2)$ và $B(3; 6)$.

Giải. Vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AB} = (2; 4)$, vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (2; -1)$. Phương trình: $2(x - 1) - (y - 2) = 0$, tức $2x - y = 0$.

Ví dụ 2. Tìm tâm và bán kính của đường tròn $x^2 + y^2 - 4x + 6y - 3 = 0$.

Giải. So sánh dạng khai triển: $a = 2$, $b = -3$, $c = -3$, tâm $I(2; -3)$, $R = \sqrt{4 + 9 + 3} = 4$.

3. Ghi nhớ

• Đổi tham số sang tổng quát bằng cách khử $t$.
• Khoảng cách điểm – đường thẳng: nhớ mẫu số $\sqrt{a^2 + b^2}$.
• Đường tròn: tâm $(a; b)$ từ hệ số $-2a$, $-2b$; $R = \sqrt{a^2 + b^2 - c}$ với a^2 + b^2 - c > 0.