Bài 8: Tổng và hiệu của hai vectơ

1. Kiến thức trọng tâm

Tổng của hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$, kí hiệu $\vec{a} + \vec{b}$, được xác định bằng quy tắc ba điểm hoặc quy tắc hình bình hành. Quy tắc ba điểm: với ba điểm tùy ý $A, B, C$, ta có $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$. Quy tắc hình bình hành: nếu $ABCD$ là hình bình hành thì $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}$.

Tổng hai vectơ có các tính chất: giao hoán $\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$, kết hợp $(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$, và $\vec{a} + \vec{0} = \vec{a}$.

Hiệu của hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$, kí hiệu $\vec{a} - \vec{b}$, được định nghĩa là $\vec{a} + (-\vec{b})$. Với ba điểm tùy ý $O, A, B$, ta có $\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{AB}$. Đây là công thức rất quan trọng để chuyển đổi giữa các vectơ.

Quy tắc trung điểm: nếu $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$ thì $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = \vec{0}$, và với điểm $O$ tùy ý, $\overrightarrow{OM} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB})$. Quy tắc trọng tâm: nếu $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ thì $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \vec{0}$.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho hình bình hành $ABCD$. Chứng minh rằng $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$.

Giải. Theo quy tắc hình bình hành, đường chéo $\overrightarrow{AC}$ bằng tổng của hai vectơ cạnh kề $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AD}$.

Ví dụ 2. Cho tam giác $ABC$, gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Chứng minh $\overrightarrow{AM} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})$.

Giải. Vì $M$ là trung điểm của $BC$ nên $\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = \vec{0}$. Ta có $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = (\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MB}) + (\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MC}) = 2\overrightarrow{AM} + (\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC}) = 2\overrightarrow{AM}$. Vậy $\overrightarrow{AM} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})$.

3. Ghi nhớ

• Quy tắc ba điểm: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$.
• Quy tắc hiệu: $\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{AB}$ (lấy điểm cuối trừ điểm đầu).
• Trung điểm: $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = \vec{0}$; trọng tâm: tổng ba vectơ bằng vectơ-không.