Bài tập cuối chương 8

1. Kiến thức trọng tâm

Chương 8 là đại số tổ hợp: quy tắc đếm, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp và nhị thức Newton. Quy tắc cộng: công việc thực hiện theo một trong $k$ phương án loại trừ nhau, với $n_1, n_2, \dots, n_k$ cách tương ứng, thì có $n_1 + n_2 + \cdots + n_k$ cách. Quy tắc nhân: công việc gồm $k$ công đoạn liên tiếp, với $n_1, n_2, \dots, n_k$ cách tương ứng, thì có $n_1 \cdot n_2 \cdots n_k$ cách. Phân biệt hai quy tắc: "hoặc" dùng cộng, "và" dùng nhân.

Hoán vị của $n$ phần tử là cách sắp xếp có thứ tự $n$ phần tử đó; số hoán vị $P_n = n!$. Chỉnh hợp chập $k$ của $n$ phần tử là cách chọn $k$ phần tử và sắp xếp có thứ tự; số chỉnh hợp $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$. Tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử là cách chọn $k$ phần tử không phân biệt thứ tự; số tổ hợp $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$. Ta có $C_n^0 = C_n^n = 1$, $C_n^k = C_n^{n-k}$ và $C_{n+1}^k = C_n^k + C_n^{k-1}$. Nhị thức Newton: $(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k$; số hạng tổng quát $T_{k+1} = C_n^k a^{n-k} b^k$.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Một lớp có $12$ học sinh nam và $15$ học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra một nhóm gồm $2$ nam và $3$ nữ?

Giải. Chọn $2$ nam: $C_{12}^2 = 66$ cách; chọn $3$ nữ: $C_{15}^3 = 455$ cách. Theo quy tắc nhân, số cách là $66 \cdot 455 = 30,030$.

Ví dụ 2. Tìm hệ số của $x^3$ trong khai triển $(2x - 1)^5$.

Giải. Số hạng tổng quát: $T_{k+1} = C_5^k (2x)^{5-k} (-1)^k$. Muốn có $x^3$ thì $5 - k = 3$, tức $k = 2$. Hệ số cần tìm là $C_5^2 \cdot 2^3 \cdot (-1)^2 = 10 \cdot 8 \cdot 1 = 80$.

3. Ghi nhớ

• Chọn có thứ tự dùng chỉnh hợp; chọn không thứ tự dùng tổ hợp; sắp xếp tất cả dùng hoán vị.
• Quy tắc cộng cho các phương án loại trừ nhau, quy tắc nhân cho các công đoạn liên tiếp.
• Trong khai triển Newton, tổng các số mũ của $a$ và $b$ trong mỗi số hạng luôn bằng $n$.