Bài 9: Tích của một vectơ với một số

1. Kiến thức trọng tâm

Tích của một vectơ $\vec{a}$ với một số thực $k$, kí hiệu $k\vec{a}$, là một vectơ thỏa mãn: có cùng hướng với $\vec{a}$ nếu k > 0, ngược hướng với $\vec{a}$ nếu k < 0, và có độ dài $|k\vec{a}| = |k| \cdot |\vec{a}|$. Đặc biệt, $0\vec{a} = \vec{0}$ và $k\vec{0} = \vec{0}$.

Các tính chất: $k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}$; $(k + m)\vec{a} = k\vec{a} + m\vec{a}$; $(km)\vec{a} = k(m\vec{a})$; $1\vec{a} = \vec{a}$; $(-1)\vec{a} = -\vec{a}$.

Hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng phương khi và chỉ khi tồn tại một số thực $k$ sao cho $\vec{b} = k\vec{a}$ (với $\vec{a} \ne \vec{0}$). Đây là điều kiện để chứng minh ba điểm thẳng hàng hoặc hai đường thẳng song song.

Điều kiện để ba điểm $A, B, C$ phân biệt thẳng hàng là tồn tại số thực $k \ne 0$ sao cho $\overrightarrow{AB} = k\overrightarrow{AC}$. Ngoài ra, với điểm $I$ thỏa mãn $\overrightarrow{IA} = k\overrightarrow{IB}$, ta có thể biểu diễn vectơ $\overrightarrow{IA}$ qua các vectơ khác để chứng minh các quan hệ hình học.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho $\vec{a}$ là vectơ có độ dài $3$. Tính độ dài của vectơ $2\vec{a}$ và $-3\vec{a}$.

Giải. $|2\vec{a}| = |2| \cdot |\vec{a}| = 2 \cdot 3 = 6$. $|-3\vec{a}| = |-3| \cdot |\vec{a}| = 3 \cdot 3 = 9$.

Ví dụ 2. Cho tam giác $ABC$, gọi $M$ là điểm trên cạnh $BC$ sao cho $\overrightarrow{MB} = -2\overrightarrow{MC}$. Biểu diễn $\overrightarrow{AM}$ theo $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$.

Giải. Từ $\overrightarrow{MB} = -2\overrightarrow{MC}$ suy ra $M$ chia $BC$ theo tỉ số $MB = 2MC$ và $M$ nằm giữa $B$ và $C$. Ta có $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM} = \overrightarrow{AB} + \dfrac{2}{3}\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} + \dfrac{2}{3}(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}) = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}$.

3. Ghi nhớ

• $|k\vec{a}| = |k| \cdot |\vec{a}|$; dấu của $k$ quyết định hướng của $k\vec{a}$.
• Hai vectơ cùng phương khi một vectơ là tích của vectơ còn lại với một số.
• Ba điểm thẳng hàng khi hai vectơ tạo bởi chúng cùng phương.