Bài tập cuối chương 9

1. Kiến thức trọng tâm

Chương 9 trình bày biến cố và định nghĩa cổ điển của xác suất, cùng thực hành tính xác suất. Phép thử ngẫu nhiên là thí nghiệm mà kết quả không đoán trước được, nhưng tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra (không gian mẫu $\Omega$) là xác định. Một kết quả là thuận lợi cho biến cố $A$ nếu khi nó xảy ra thì $A$ xảy ra. Biến cố đối $\bar{A}$ là biến cố "$A$ không xảy ra"; $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$. Hai biến cố $A$ và $B$ xung khắc không thể cùng xảy ra, khi đó $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.

Định nghĩa cổ điển: nếu $\Omega$ có $n(\Omega)$ kết quả đồng khả năng và $A$ có $n(A)$ kết quả thuận lợi thì $P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)}$. Mọi biến cố đều có $0 \le P(A) \le 1$, $P(\Omega) = 1$, $P(\varnothing) = 0$. Khi tính xác suất, trước tiên mô tả không gian mẫu và đếm $n(\Omega)$ bằng công cụ đếm ở chương 8, sau đó mô tả $A$ và đếm $n(A)$. Nhiều bài toán tính xác suất biến cố đối dễ hơn tính trực tiếp.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Gieo một con xúc xắc cân đối hai lần. Tính xác suất để tổng số chấm bằng $7$.

Giải. $n(\Omega) = 6 \cdot 6 = 36$ kết quả đồng khả năng. Biến cố $A$: "tổng bằng $7$" có các kết quả thuận lợi $(1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1)$, tức $n(A) = 6$. Vậy $P(A) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.

Ví dụ 2. Một hộp có $5$ bi đỏ và $3$ bi xanh. Lấy ngẫu nhiên $2$ bi. Tính xác suất để lấy được ít nhất một bi đỏ.

Giải. Số cách lấy $2$ bi là $C_8^2 = 28$. Biến cố đối $\bar{A}$: "lấy $0$ bi đỏ", tức cả $2$ bi đều xanh, có $C_3^2 = 3$ cách, nên $P(\bar{A}) = \frac{3}{28}$. Vậy $P(A) = 1 - \frac{3}{28} = \frac{25}{28}$.

3. Ghi nhớ

• Xác suất cổ điển chỉ dùng khi các kết quả đồng khả năng.
• "Ít nhất một" thường gợi ý dùng biến cố đối: $P(A) = 1 - P(\bar{A})$.
• Đếm $n(\Omega)$ và $n(A)$ bằng hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp; kiểm tra thứ tự có quan trọng không.