Bài 10: Vectơ trong mặt phẳng tọa độ

1. Kiến thức trọng tâm

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, mỗi vectơ $\vec{a}$ được xác định duy nhất bởi một cặp số $(x; y)$ sao cho $\vec{a} = x\vec{i} + y\vec{j}$, trong đó $\vec{i}$ và $\vec{j}$ là hai vectơ đơn vị trên trục $Ox$ và $Oy$. Cặp số $(x; y)$ được gọi là tọa độ của vectơ $\vec{a}$, kí hiệu $\vec{a} = (x; y)$.

Nếu điểm $A(x_A; y_A)$ và $B(x_B; y_B)$ thì $\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A)$. Độ dài của vectơ $\vec{a} = (x; y)$ là $|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}$.

Các phép toán trên vectơ theo tọa độ: nếu $\vec{a} = (x_1; y_1)$ và $\vec{b} = (x_2; y_2)$ thì $\vec{a} + \vec{b} = (x_1 + x_2; y_1 + y_2)$, $\vec{a} - \vec{b} = (x_1 - x_2; y_1 - y_2)$, $k\vec{a} = (kx_1; ky_1)$ với $k$ là số thực. Hai vectơ $\vec{a} = (x_1; y_1)$ và $\vec{b} = (x_2; y_2)$ bằng nhau khi và chỉ khi $x_1 = x_2$ và $y_1 = y_2$.

Trung điểm $M$ của đoạn thẳng $AB$ có tọa độ $M\left(\dfrac{x_A + x_B}{2}; \dfrac{y_A + y_B}{2}\right)$. Trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ có tọa độ $G\left(\dfrac{x_A + x_B + x_C}{3}; \dfrac{y_A + y_B + y_C}{3}\right)$.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho $A(1; 2)$, $B(4; 6)$. Tìm tọa độ của $\overrightarrow{AB}$ và độ dài của nó.

Giải. $\overrightarrow{AB} = (4 - 1; 6 - 2) = (3; 4)$. Độ dài $|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$.

Ví dụ 2. Cho $\vec{a} = (2; -1)$, $\vec{b} = (1; 3)$. Tính $\vec{a} + \vec{b}$ và $2\vec{a} - \vec{b}$.

Giải. $\vec{a} + \vec{b} = (2 + 1; -1 + 3) = (3; 2)$. $2\vec{a} - \vec{b} = (2 \cdot 2 - 1; 2 \cdot (-1) - 3) = (3; -5)$.

Ví dụ 3. Cho tam giác $ABC$ với $A(0; 0)$, $B(6; 0)$, $C(3; 3)$. Tìm tọa độ trọng tâm $G$.

Giải. $G\left(\dfrac{0 + 6 + 3}{3}; \dfrac{0 + 0 + 3}{3}\right) = (3; 1)$.

3. Ghi nhớ

• Tọa độ của $\overrightarrow{AB}$ bằng tọa độ điểm cuối trừ tọa độ điểm đầu.
• Độ dài vectơ: $|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}$.
• Trung điểm lấy trung bình cộng hai đầu mút; trọng tâm lấy trung bình cộng ba đỉnh.