Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ

1. Kiến thức trọng tâm

Cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ khác $\vec{0}$. Góc giữa hai vectơ, kí hiệu $(\vec{a}, \vec{b})$, là góc $\varphi$ thỏa mãn $0^\circ \le \varphi \le 180^\circ$, được xác định bằng cách đặt hai vectơ chung gốc. Tích vô hướng của hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là một số, kí hiệu $\vec{a} \cdot \vec{b}$, xác định bởi công thức:

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\vec{a}, \vec{b}).$$

Quy ước $\vec{0} \cdot \vec{a} = 0$ với mọi vectơ $\vec{a}$. Tích vô hướng bằng 0 khi và chỉ khi ít nhất một trong hai vectơ là vectơ-không, hoặc hai vectơ vuông góc với nhau. Ta có $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$, còn gọi là bình phương vô hướng của $\vec{a}$.

Tích vô hướng có các tính chất quan trọng: giao hoán $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$; phân phối với phép cộng $\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}$; và $(k\vec{a}) \cdot \vec{b} = k(\vec{a} \cdot \vec{b})$ với mọi số thực $k$.

Trong mặt phẳng tọa độ, nếu $\vec{a} = (x_1; y_1)$ và $\vec{b} = (x_2; y_2)$ thì $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2$. Từ đó, hai vectơ vuông góc khi và chỉ khi $x_1 x_2 + y_1 y_2 = 0$, và độ dài $|\vec{a}| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2}$.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho $\vec{a} = (2; -1)$ và $\vec{b} = (3; 4)$. Tính $\vec{a} \cdot \vec{b}$ và kiểm tra hai vectơ có vuông góc không.

Lời giải: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 3 + (-1) \cdot 4 = 6 - 4 = 2 \ne 0$ nên hai vectơ không vuông góc.

Ví dụ 2. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ với $AB = 3$, $AC = 4$. Tính $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$.

Lời giải: Vì $AB \perp AC$ nên góc giữa hai vectơ bằng $90^\circ$, do đó $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 3 \cdot 4 \cdot \cos 90^\circ = 0$.

3. Ghi nhớ

• Tích vô hướng là một số, không phải vectơ.
• $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\vec{a}, \vec{b})$; với tọa độ: $x_1x_2 + y_1y_2$.
• $\vec{a} \perp \vec{b} \iff \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$; $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$.
• Dùng tích vô hướng để chứng minh vuông góc và tính góc giữa hai vectơ.