Bài tập — Bài 17: Hàm số liên tục

Phần 1: Câu hỏi Trắc nghiệm (Nhận biết & Thông hiểu)

Câu 1. Nội dung nào sau đây phản ánh đúng kiến thức cần ghi nhớ trong bài Bài 17: Hàm số liên tục? A. Bỏ qua các khái niệm cơ bản và chỉ học thuộc lòng kết quả cuối cùng mà không cần hiểu bản chất. B. Chỉ áp dụng kiến thức trong một trường hợp duy nhất, không cần kiểm tra điều kiện hay đơn vị. C. Liên tục tại $x_0$ khi: xác định tại $x_0$ , có giới hạn tại $x_0$ , giới hạn bằng giá trị hàm. D. Các nội dung trong bài hoàn toàn độc lập và không có mối liên hệ nào với thực tiễn hay các bài học khác.

Câu 2. Khi học và vận dụng bài Bài 17: Hàm số liên tục, khẳng định nào dưới đây là chính xác? A. Không cần đọc kĩ đề bài hay phân tích dữ kiện trước khi thực hiện các bước giải. B. Mọi khái niệm trong bài đều có thể thay thế tùy ý cho nhau mà không làm thay đổi kết quả. C. Chỉ cần ghi đáp số ngắn gọn, bỏ qua toàn bộ bước lập luận, giải thích và kiểm tra lại. D. Hàm đa thức, phân thức, lượng giác, mũ, lôgarit liên tục trên tập xác định.

Câu 3. Theo phần Kiến thức trọng tâm của bài Bài 17: Hàm số liên tục, phát biểu nào sau đây là đúng? A. Hàm số $f(x)$ được gọi là liên tục tại điểm $x_0$ nếu thỏa mãn ba điều kiện: $f(x)$ xác định tại $x_0$ ; tồn tại $\lim_{x \to x_0} f(x)$ ; và $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$ . B. Kết luận ngay kết quả khi chưa đối chiếu với quy tắc hoặc định nghĩa trong bài học. C. Thay đổi toàn bộ quy tắc trọng tâm của bài học theo cảm tính cá nhân. D. Bỏ qua việc rèn luyện qua ví dụ minh họa và bài tập thực hành của tiết học.

Câu 4. Để nắm vững và vận dụng tốt bài Bài 17: Hàm số liên tục, học sinh cần lưu ý điều nào sau đây? A. Không cần ghi nhớ các lưu ý trọng tâm vì chúng không ảnh hưởng đến việc làm bài tập. B. Hàm số được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó. C. Áp dụng ngược lại hoàn toàn so với quy tắc và hướng dẫn trong phần kiến thức trọng tâm. D. Chỉ cần đọc lướt tiêu đề bài học mà không cần nắm vững nội dung chi tiết từng mục.

Phần 2: Bài tập Tự luận & Thực hành theo tiết học

Bài 1 (Cơ bản — Hệ thống hóa kiến thức trọng tâm). Dựa vào phần Kiến thức trọng tâm của bài Bài 17: Hàm số liên tục, em hãy trình bày các khái niệm, quy tắc hoặc nội dung cốt lõi của tiết học và nêu ý nghĩa của chúng.

Bài 2 (Thực hành — Phân tích & Giải mẫu theo ví dụ tiết học). Đọc kĩ tình huống/ví dụ trọng tâm của tiết học dưới đây, sau đó tự trình bày lại các bước thực hiện và nêu nhận xét rút ra:

Xét tính liên tục của hàm số $f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2 - 1}{x - 1} & \text{khi } x \ne 1 \ 3 & \text{khi } x = 1 \end{cases}$ tại $x_0 = 1$ .

Bài 3 (Vận dụng — Áp dụng quy tắc ghi nhớ vào bài tập). Vận dụng các điểm ghi nhớ trọng tâm của bài Bài 17: Hàm số liên tục để giải thích hoặc thực hiện yêu cầu thực hành mở rộng sau:

Lời giải: Ta có $f(1) = 3$ . Với $x \ne 1$ , $\dfrac{x^2 - 1}{x - 1} = x + 1$ nên $\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} (x + 1) = 2$ . Vì $\lim_{x \to 1} f(x) = 2 \ne 3 = f(1)$ nên hàm số gián đoạn tại $x_0 = 1$ .

Bài 4 (Luyện tập học kì — Mức độ Cơ bản). Tính thể tích khối chóp có diện tích đáy bằng $12$ và chiều cao bằng $5$ .

Bài 5 (Luyện tập học kì — Mức độ Thông hiểu). Giải phương trình $3^x = 27$ .

Bài 6 (Luyện tập học kì — Mức độ Vận dụng & Nâng cao). Giải bất phương trình $\log_3 x < 2$ .

Phần 3: Đáp án & Hướng dẫn giải chi tiết

1. Đáp án phần Trắc nghiệm

Bảng đáp án: 1-C, 2-D, 3-A, 4-B.
Giải thích chi tiết:
- Câu 1 (C): Khẳng định đúng theo mục Ghi nhớ của bài: "Liên tục tại $x_0$ khi: xác định tại $x_0$ , có giới hạn tại $x_0$ , giới hạn bằng giá trị hàm."
- Câu 2 (D): Khẳng định đúng theo nội dung cốt lõi của tiết học: "Hàm đa thức, phân thức, lượng giác, mũ, lôgarit liên tục trên tập xác định."
- Câu 3 (A): Khẳng định chuẩn xác theo phần Kiến thức trọng tâm: "Hàm số $f(x)$ được gọi là liên tục tại điểm $x_0$ nếu thỏa mãn ba điều kiện: $f(x)$ xác định tại $x_0$ ; tồn tại $\lim_{x \to x_0} f(x)$ ; và $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$ ."
- Câu 4 (B): Khẳng định đúng theo hướng dẫn trọng tâm của bài: "Hàm số được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó."

2. Hướng dẫn giải phần Tự luận & Thực hành

Bài 1:
- Nội dung cốt lõi cần trình bày: Hàm số $f(x)$ được gọi là liên tục tại điểm $x_0$ nếu thỏa mãn ba điều kiện: $f(x)$ xác định tại $x_0$ ; tồn tại $\lim_{x \to x_0} f(x)$ ; và $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$ . Nếu một trong ba điều kiện không thỏa mãn thì hàm số gián đoạn tại $x_0$ .
- Tổng kết ghi nhớ: Liên tục tại $x_0$ khi: xác định tại $x_0$ , có giới hạn tại $x_0$ , giới hạn bằng giá trị hàm.; Hàm đa thức, phân thức, lượng giác, mũ, lôgarit liên tục trên tập xác định.; Dùng $f(a) \cdot f(b) < 0$ để chứng minh phương trình có nghiệm.
Bài 2:
- Hướng dẫn phân tích & trình bày: Dựa trực tiếp vào dữ kiện trong ví dụ minh họa của tiết học: Xét tính liên tục của hàm số $f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2 - 1}{x - 1} & \text{khi } x \ne 1 \ 3 & \text{khi } x = 1 \end{cases}$ tại $x_0 = 1$ .
- Lưu ý khi trình bày: Xác định rõ yêu cầu, áp dụng đúng quy tắc/khái niệm trong mục 1 và kiểm tra lại kết quả cuối cùng.
Bài 3:
- Phương pháp giải: Áp dụng các quy tắc ghi nhớ của bài Bài 17: Hàm số liên tục (Liên tục tại $x_0$ khi: xác định tại $x_0$ , có giới hạn tại $x_0$ , giới hạn bằng giá trị hàm.; Hàm đa thức, phân thức, lượng giác, mũ, lôgarit liên tục trên tập xác định.; Dùng $f(a) \cdot f(b) < 0$ để chứng minh phương trình có nghiệm.).
- Lời giải mẫu/Nhận xét: Lời giải: Ta có $f(1) = 3$ . Với $x \ne 1$ , $\dfrac{x^2 - 1}{x - 1} = x + 1$ nên $\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} (x + 1) = 2$ . Vì $\lim_{x \to 1} f(x) = 2 \ne 3 = f(1)$ nên hàm số gián đoạn tại $x_0 = 1$ .
Bài 4: $20$ (vì $V = \dfrac{1}{3} \cdot 12 \cdot 5$ )
Bài 5: $x = 3$
Bài 6: $0 < x < 9$

Phần 1: Câu hỏi Trắc nghiệm (Nhận biết & Thông hiểu)

x_0

khi: xác định tại

x_0

, có giới hạn tại

x_0

, giới hạn bằng giá trị hàm. D. Các nội dung trong bài hoàn toàn độc lập và không có mối liên hệ nào với thực tiễn hay các bài học khác.

Câu 3. Theo phần Kiến thức trọng tâm của bài Bài 17: Hàm số liên tục, phát biểu nào sau đây là đúng? A. Hàm số

f(x)

được gọi là liên tục tại điểm

x_0

nếu thỏa mãn ba điều kiện:

f(x)

xác định tại

x_0

; tồn tại

\lim_{x \to x_0} f(x)

; và

\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)

. B. Kết luận ngay kết quả khi chưa đối chiếu với quy tắc hoặc định nghĩa trong bài học. C. Thay đổi toàn bộ quy tắc trọng tâm của bài học theo cảm tính cá nhân. D. Bỏ qua việc rèn luyện qua ví dụ minh họa và bài tập thực hành của tiết học.

Phần 2: Bài tập Tự luận & Thực hành theo tiết học

Xét tính liên tục của hàm số $f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2 - 1}{x - 1} & \text{khi } x \ne 1 \ 3 & \text{khi } x = 1 \end{cases}$ tại $x_0 = 1$ .

Lời giải: Ta có $f(1) = 3$ . Với $x \ne 1$ , $\dfrac{x^2 - 1}{x - 1} = x + 1$ nên $\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} (x + 1) = 2$ . Vì $\lim_{x \to 1} f(x) = 2 \ne 3 = f(1)$ nên hàm số gián đoạn tại $x_0 = 1$ .

Bài 4 (Luyện tập học kì — Mức độ Cơ bản). Tính thể tích khối chóp có diện tích đáy bằng

12

và chiều cao bằng

5

Bài 5 (Luyện tập học kì — Mức độ Thông hiểu). Giải phương trình

3^x = 27

Bài 6 (Luyện tập học kì — Mức độ Vận dụng & Nâng cao). Giải bất phương trình

\log_3 x &lt; 2

Phần 3: Đáp án & Hướng dẫn giải chi tiết

1. Đáp án phần Trắc nghiệm

Bảng đáp án: 1-C, 2-D, 3-A, 4-B.

Giải thích chi tiết:

Câu 1 (C): Khẳng định đúng theo mục Ghi nhớ của bài: "Liên tục tại $x_0$ khi: xác định tại $x_0$ , có giới hạn tại $x_0$ , giới hạn bằng giá trị hàm."
Câu 2 (D): Khẳng định đúng theo nội dung cốt lõi của tiết học: "Hàm đa thức, phân thức, lượng giác, mũ, lôgarit liên tục trên tập xác định."
Câu 3 (A): Khẳng định chuẩn xác theo phần Kiến thức trọng tâm: "Hàm số $f(x)$ được gọi là liên tục tại điểm $x_0$ nếu thỏa mãn ba điều kiện: $f(x)$ xác định tại $x_0$ ; tồn tại $\lim_{x \to x_0} f(x)$ ; và $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$ ."
Câu 4 (B): Khẳng định đúng theo hướng dẫn trọng tâm của bài: "Hàm số được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó."

2. Hướng dẫn giải phần Tự luận & Thực hành

Bài 1:

Nội dung cốt lõi cần trình bày: Hàm số $f(x)$ được gọi là liên tục tại điểm $x_0$ nếu thỏa mãn ba điều kiện: $f(x)$ xác định tại $x_0$ ; tồn tại $\lim_{x \to x_0} f(x)$ ; và $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$ . Nếu một trong ba điều kiện không thỏa mãn thì hàm số gián đoạn tại $x_0$ .
Tổng kết ghi nhớ: Liên tục tại $x_0$ khi: xác định tại $x_0$ , có giới hạn tại $x_0$ , giới hạn bằng giá trị hàm.; Hàm đa thức, phân thức, lượng giác, mũ, lôgarit liên tục trên tập xác định.; Dùng $f(a) \cdot f(b) < 0$ để chứng minh phương trình có nghiệm.

Bài 2:

Hướng dẫn phân tích & trình bày: Dựa trực tiếp vào dữ kiện trong ví dụ minh họa của tiết học: Xét tính liên tục của hàm số $f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2 - 1}{x - 1} & \text{khi } x \ne 1 \ 3 & \text{khi } x = 1 \end{cases}$ tại $x_0 = 1$ .
Lưu ý khi trình bày: Xác định rõ yêu cầu, áp dụng đúng quy tắc/khái niệm trong mục 1 và kiểm tra lại kết quả cuối cùng.

Bài 3:

Phương pháp giải: Áp dụng các quy tắc ghi nhớ của bài Bài 17: Hàm số liên tục (Liên tục tại $x_0$ khi: xác định tại $x_0$ , có giới hạn tại $x_0$ , giới hạn bằng giá trị hàm.; Hàm đa thức, phân thức, lượng giác, mũ, lôgarit liên tục trên tập xác định.; Dùng $f(a) \cdot f(b) < 0$ để chứng minh phương trình có nghiệm.).
Lời giải mẫu/Nhận xét: Lời giải: Ta có $f(1) = 3$ . Với $x \ne 1$ , $\dfrac{x^2 - 1}{x - 1} = x + 1$ nên $\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} (x + 1) = 2$ . Vì $\lim_{x \to 1} f(x) = 2 \ne 3 = f(1)$ nên hàm số gián đoạn tại $x_0 = 1$ .

Bài 4:

20

(vì

V = \dfrac{1}{3} \cdot 12 \cdot 5

)

Bài 5:

x = 3

Bài 6:

0 &lt; x &lt; 9