Bài tập — Bài 31: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

Phần 1: Câu hỏi Trắc nghiệm (Nhận biết & Thông hiểu)

Câu 1. Nội dung nào sau đây phản ánh đúng kiến thức cần ghi nhớ trong bài Bài 31: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm? A. Định nghĩa: $f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$ . B. Bỏ qua các khái niệm cơ bản và chỉ học thuộc lòng kết quả cuối cùng mà không cần hiểu bản chất. C. Chỉ áp dụng kiến thức trong một trường hợp duy nhất, không cần kiểm tra điều kiện hay đơn vị. D. Các nội dung trong bài hoàn toàn độc lập và không có mối liên hệ nào với thực tiễn hay các bài học khác.

Câu 2. Khi học và vận dụng bài Bài 31: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm, khẳng định nào dưới đây là chính xác? A. Không cần đọc kĩ đề bài hay phân tích dữ kiện trước khi thực hiện các bước giải. B. Ý nghĩa hình học: $f'(x_0)$ là hệ số góc của tiếp tuyến tại $x_0$ . C. Mọi khái niệm trong bài đều có thể thay thế tùy ý cho nhau mà không làm thay đổi kết quả. D. Chỉ cần ghi đáp số ngắn gọn, bỏ qua toàn bộ bước lập luận, giải thích và kiểm tra lại.

Câu 3. Theo phần Kiến thức trọng tâm của bài Bài 31: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm, phát biểu nào sau đây là đúng? A. Kết luận ngay kết quả khi chưa đối chiếu với quy tắc hoặc định nghĩa trong bài học. B. Thay đổi toàn bộ quy tắc trọng tâm của bài học theo cảm tính cá nhân. C. Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên khoảng $(a; b)$ và $x_0 \in (a; b)$ . D. Bỏ qua việc rèn luyện qua ví dụ minh họa và bài tập thực hành của tiết học.

Câu 4. Để nắm vững và vận dụng tốt bài Bài 31: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm, học sinh cần lưu ý điều nào sau đây? A. Không cần ghi nhớ các lưu ý trọng tâm vì chúng không ảnh hưởng đến việc làm bài tập. B. Áp dụng ngược lại hoàn toàn so với quy tắc và hướng dẫn trong phần kiến thức trọng tâm. C. Chỉ cần đọc lướt tiêu đề bài học mà không cần nắm vững nội dung chi tiết từng mục. D. Đặt $\Delta x = x - x_0$ và $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$ , ta có dạng tương đương $f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$ .

Phần 2: Bài tập Tự luận & Thực hành theo tiết học

Bài 1 (Cơ bản — Hệ thống hóa kiến thức trọng tâm). Dựa vào phần Kiến thức trọng tâm của bài Bài 31: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm, em hãy trình bày các khái niệm, quy tắc hoặc nội dung cốt lõi của tiết học và nêu ý nghĩa của chúng.

Bài 2 (Thực hành — Phân tích & Giải mẫu theo ví dụ tiết học). Đọc kĩ tình huống/ví dụ trọng tâm của tiết học dưới đây, sau đó tự trình bày lại các bước thực hiện và nêu nhận xét rút ra:

Ví dụ 1. Tính đạo hàm của $f(x) = x^2$ tại $x_0 = 2$ bằng định nghĩa.

Bài 3 (Vận dụng — Áp dụng quy tắc ghi nhớ vào bài tập). Vận dụng các điểm ghi nhớ trọng tâm của bài Bài 31: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm để giải thích hoặc thực hiện yêu cầu thực hành mở rộng sau:

Lời giải: $\frac{f(2 + \Delta x) - f(2)}{\Delta x} = \frac{(2 + \Delta x)^2 - 4}{\Delta x} = \frac{4\Delta x + (\Delta x)^2}{\Delta x} = 4 + \Delta x$ . Cho $\Delta x \to 0$ , ta được $f'(2) = 4$ .

Bài 4 (Luyện tập học kì — Mức độ Cơ bản). Tính $\lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x^2+x} - x\right)$ .

Bài 5 (Luyện tập học kì — Mức độ Thông hiểu). Tính $\lim_{x \to 0} \dfrac{\tan x}{x}$ . ---

Bài 6 (Luyện tập học kì — Mức độ Vận dụng & Nâng cao). Tính $\lim_{x \to 2} \dfrac{x^2-3x+2}{x-2}$ .

Phần 3: Đáp án & Hướng dẫn giải chi tiết

1. Đáp án phần Trắc nghiệm

Bảng đáp án: 1-A, 2-B, 3-C, 4-D.
Giải thích chi tiết:
- Câu 1 (A): Khẳng định đúng theo mục Ghi nhớ của bài: "Định nghĩa: $f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$ ."
- Câu 2 (B): Khẳng định đúng theo nội dung cốt lõi của tiết học: "Ý nghĩa hình học: $f'(x_0)$ là hệ số góc của tiếp tuyến tại $x_0$ ."
- Câu 3 (C): Khẳng định chuẩn xác theo phần Kiến thức trọng tâm: "Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên khoảng $(a; b)$ và $x_0 \in (a; b)$ ."
- Câu 4 (D): Khẳng định đúng theo hướng dẫn trọng tâm của bài: "Đặt $\Delta x = x - x_0$ và $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$ , ta có dạng tương đương $f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$ ."

2. Hướng dẫn giải phần Tự luận & Thực hành

Bài 1:
- Nội dung cốt lõi cần trình bày: Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên khoảng $(a; b)$ và $x_0 \in (a; b)$ . Đạo hàm của $f$ tại $x_0$ , kí hiệu $f'(x_0)$ , là giới hạn (nếu có) $f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$ .
- Tổng kết ghi nhớ: Định nghĩa: $f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$ .; Ý nghĩa hình học: $f'(x_0)$ là hệ số góc của tiếp tuyến tại $x_0$ .; Ý nghĩa vật lí: đạo hàm của quãng đường là vận tốc tức thời.
Bài 2:
- Hướng dẫn phân tích & trình bày: Dựa trực tiếp vào dữ kiện trong ví dụ minh họa của tiết học: Ví dụ 1. Tính đạo hàm của $f(x) = x^2$ tại $x_0 = 2$ bằng định nghĩa.
- Lưu ý khi trình bày: Xác định rõ yêu cầu, áp dụng đúng quy tắc/khái niệm trong mục 1 và kiểm tra lại kết quả cuối cùng.
Bài 3:
- Phương pháp giải: Áp dụng các quy tắc ghi nhớ của bài Bài 31: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm (Định nghĩa: $f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$ .; Ý nghĩa hình học: $f'(x_0)$ là hệ số góc của tiếp tuyến tại $x_0$ .; Ý nghĩa vật lí: đạo hàm của quãng đường là vận tốc tức thời.).
- Lời giải mẫu/Nhận xét: Lời giải: $\frac{f(2 + \Delta x) - f(2)}{\Delta x} = \frac{(2 + \Delta x)^2 - 4}{\Delta x} = \frac{4\Delta x + (\Delta x)^2}{\Delta x} = 4 + \Delta x$ . Cho $\Delta x \to 0$ , ta được $f'(2) = 4$ .
Bài 4: $\dfrac{1}{2}$ (nhân liên hợp: $\dfrac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}$ )
Bài 5: $1$ (vì $\dfrac{\tan x}{x} = \dfrac{\sin x}{x} \cdot \dfrac{1}{\cos x}$ )
Bài 6: $-1$ (phân tích tử: $(x-1)(x-2)$ )

Phần 1: Câu hỏi Trắc nghiệm (Nhận biết & Thông hiểu)

Câu 1. Nội dung nào sau đây phản ánh đúng kiến thức cần ghi nhớ trong bài Bài 31: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm? A. Định nghĩa:

f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}

. B. Bỏ qua các khái niệm cơ bản và chỉ học thuộc lòng kết quả cuối cùng mà không cần hiểu bản chất. C. Chỉ áp dụng kiến thức trong một trường hợp duy nhất, không cần kiểm tra điều kiện hay đơn vị. D. Các nội dung trong bài hoàn toàn độc lập và không có mối liên hệ nào với thực tiễn hay các bài học khác.

f'(x_0)

là hệ số góc của tiếp tuyến tại

x_0

. C. Mọi khái niệm trong bài đều có thể thay thế tùy ý cho nhau mà không làm thay đổi kết quả. D. Chỉ cần ghi đáp số ngắn gọn, bỏ qua toàn bộ bước lập luận, giải thích và kiểm tra lại.

y = f(x)

xác định trên khoảng

(a; b)

và

x_0 \in (a; b)

. D. Bỏ qua việc rèn luyện qua ví dụ minh họa và bài tập thực hành của tiết học.

\Delta x = x - x_0

và

\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)

, ta có dạng tương đương

f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}

Phần 2: Bài tập Tự luận & Thực hành theo tiết học

Ví dụ 1. Tính đạo hàm của $f(x) = x^2$ tại $x_0 = 2$ bằng định nghĩa.

Lời giải: $\frac{f(2 + \Delta x) - f(2)}{\Delta x} = \frac{(2 + \Delta x)^2 - 4}{\Delta x} = \frac{4\Delta x + (\Delta x)^2}{\Delta x} = 4 + \Delta x$ . Cho $\Delta x \to 0$ , ta được $f'(2) = 4$ .

Bài 4 (Luyện tập học kì — Mức độ Cơ bản). Tính

\lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x^2+x} - x\right)

Bài 5 (Luyện tập học kì — Mức độ Thông hiểu). Tính

\lim_{x \to 0} \dfrac{\tan x}{x}

. ---

Bài 6 (Luyện tập học kì — Mức độ Vận dụng & Nâng cao). Tính

\lim_{x \to 2} \dfrac{x^2-3x+2}{x-2}

Phần 3: Đáp án & Hướng dẫn giải chi tiết

1. Đáp án phần Trắc nghiệm

Bảng đáp án: 1-A, 2-B, 3-C, 4-D.

Giải thích chi tiết:

Câu 1 (A): Khẳng định đúng theo mục Ghi nhớ của bài: "Định nghĩa: $f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$ ."
Câu 2 (B): Khẳng định đúng theo nội dung cốt lõi của tiết học: "Ý nghĩa hình học: $f'(x_0)$ là hệ số góc của tiếp tuyến tại $x_0$ ."
Câu 3 (C): Khẳng định chuẩn xác theo phần Kiến thức trọng tâm: "Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên khoảng $(a; b)$ và $x_0 \in (a; b)$ ."
Câu 4 (D): Khẳng định đúng theo hướng dẫn trọng tâm của bài: "Đặt $\Delta x = x - x_0$ và $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$ , ta có dạng tương đương $f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$ ."

2. Hướng dẫn giải phần Tự luận & Thực hành

Bài 1:

Nội dung cốt lõi cần trình bày: Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên khoảng $(a; b)$ và $x_0 \in (a; b)$ . Đạo hàm của $f$ tại $x_0$ , kí hiệu $f'(x_0)$ , là giới hạn (nếu có) $f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$ .
Tổng kết ghi nhớ: Định nghĩa: $f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$ .; Ý nghĩa hình học: $f'(x_0)$ là hệ số góc của tiếp tuyến tại $x_0$ .; Ý nghĩa vật lí: đạo hàm của quãng đường là vận tốc tức thời.

Bài 2:

Hướng dẫn phân tích & trình bày: Dựa trực tiếp vào dữ kiện trong ví dụ minh họa của tiết học: Ví dụ 1. Tính đạo hàm của $f(x) = x^2$ tại $x_0 = 2$ bằng định nghĩa.
Lưu ý khi trình bày: Xác định rõ yêu cầu, áp dụng đúng quy tắc/khái niệm trong mục 1 và kiểm tra lại kết quả cuối cùng.

Bài 3:

Phương pháp giải: Áp dụng các quy tắc ghi nhớ của bài Bài 31: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm (Định nghĩa: $f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$ .; Ý nghĩa hình học: $f'(x_0)$ là hệ số góc của tiếp tuyến tại $x_0$ .; Ý nghĩa vật lí: đạo hàm của quãng đường là vận tốc tức thời.).
Lời giải mẫu/Nhận xét: Lời giải: $\frac{f(2 + \Delta x) - f(2)}{\Delta x} = \frac{(2 + \Delta x)^2 - 4}{\Delta x} = \frac{4\Delta x + (\Delta x)^2}{\Delta x} = 4 + \Delta x$ . Cho $\Delta x \to 0$ , ta được $f'(2) = 4$ .

Bài 4:

\dfrac{1}{2}

(nhân liên hợp:

\dfrac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}

)

Bài 5:

1

(vì

\dfrac{\tan x}{x} = \dfrac{\sin x}{x} \cdot \dfrac{1}{\cos x}

)

Bài 6:

-1

(phân tích tử:

(x-1)(x-2)

)