Bài tập — Bài 30: Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập

Phần 1: Câu hỏi Trắc nghiệm (Nhận biết & Thông hiểu)

Câu 1. Nội dung nào sau đây phản ánh đúng kiến thức cần ghi nhớ trong bài Bài 30: Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập? A. Bỏ qua các khái niệm cơ bản và chỉ học thuộc lòng kết quả cuối cùng mà không cần hiểu bản chất. B. Chỉ áp dụng kiến thức trong một trường hợp duy nhất, không cần kiểm tra điều kiện hay đơn vị. C. Các nội dung trong bài hoàn toàn độc lập và không có mối liên hệ nào với thực tiễn hay các bài học khác. D. Độc lập: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ .

Câu 2. Khi học và vận dụng bài Bài 30: Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập, khẳng định nào dưới đây là chính xác? A. Nếu $A$ , $B$ độc lập thì các cặp với biến cố đối cũng độc lập. B. Không cần đọc kĩ đề bài hay phân tích dữ kiện trước khi thực hiện các bước giải. C. Mọi khái niệm trong bài đều có thể thay thế tùy ý cho nhau mà không làm thay đổi kết quả. D. Chỉ cần ghi đáp số ngắn gọn, bỏ qua toàn bộ bước lập luận, giải thích và kiểm tra lại.

Câu 3. Theo phần Kiến thức trọng tâm của bài Bài 30: Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập, phát biểu nào sau đây là đúng? A. Kết luận ngay kết quả khi chưa đối chiếu với quy tắc hoặc định nghĩa trong bài học. B. Hai biến cố $A$ và $B$ được gọi là độc lập nếu $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ . C. Thay đổi toàn bộ quy tắc trọng tâm của bài học theo cảm tính cá nhân. D. Bỏ qua việc rèn luyện qua ví dụ minh họa và bài tập thực hành của tiết học.

Câu 4. Để nắm vững và vận dụng tốt bài Bài 30: Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập, học sinh cần lưu ý điều nào sau đây? A. Không cần ghi nhớ các lưu ý trọng tâm vì chúng không ảnh hưởng đến việc làm bài tập. B. Áp dụng ngược lại hoàn toàn so với quy tắc và hướng dẫn trong phần kiến thức trọng tâm. C. Đây là công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập, và cũng là dấu hiệu để nhận biết tính độc lập trong nhiều bài toán. D. Chỉ cần đọc lướt tiêu đề bài học mà không cần nắm vững nội dung chi tiết từng mục.

Phần 2: Bài tập Tự luận & Thực hành theo tiết học

Bài 1 (Cơ bản — Hệ thống hóa kiến thức trọng tâm). Dựa vào phần Kiến thức trọng tâm của bài Bài 30: Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập, em hãy trình bày các khái niệm, quy tắc hoặc nội dung cốt lõi của tiết học và nêu ý nghĩa của chúng.

Bài 2 (Thực hành — Phân tích & Giải mẫu theo ví dụ tiết học). Đọc kĩ tình huống/ví dụ trọng tâm của tiết học dưới đây, sau đó tự trình bày lại các bước thực hiện và nêu nhận xét rút ra:

Ví dụ 1. Gieo hai con xúc xắc cân đối. Tính xác suất để cả hai con đều ra mặt $6$ .

Bài 3 (Vận dụng — Áp dụng quy tắc ghi nhớ vào bài tập). Vận dụng các điểm ghi nhớ trọng tâm của bài Bài 30: Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập để giải thích hoặc thực hiện yêu cầu thực hành mở rộng sau:

Lời giải: Gọi $A$ là biến cố "con thứ nhất ra mặt $6$ ", $B$ là biến cố "con thứ hai ra mặt $6$ ". Hai biến cố độc lập, $P(A) = P(B) = \frac{1}{6}$ . Vậy $P(A \cap B) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$ .

Bài 4 (Luyện tập học kì — Mức độ Cơ bản). Tính $\lim_{x \to 2} \dfrac{x^3-8}{x^2-4}$ .

Bài 5 (Luyện tập học kì — Mức độ Thông hiểu). Chứng minh hàm số $f(x) = x^3 - 3x + 1$ liên tục trên $\mathbb{R}$ .

Bài 6 (Luyện tập học kì — Mức độ Vận dụng & Nâng cao). Tìm $m$ để hàm số $f(x) = \dfrac{x^2-1}{x-1}$ khi $x \ne 1$ và $f(1) = m$ liên tục tại $x = 1$ .

Phần 3: Đáp án & Hướng dẫn giải chi tiết

1. Đáp án phần Trắc nghiệm

Bảng đáp án: 1-D, 2-A, 3-B, 4-C.
Giải thích chi tiết:
- Câu 1 (D): Khẳng định đúng theo mục Ghi nhớ của bài: "Độc lập: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ ."
- Câu 2 (A): Khẳng định đúng theo nội dung cốt lõi của tiết học: "Nếu $A$ , $B$ độc lập thì các cặp với biến cố đối cũng độc lập."
- Câu 3 (B): Khẳng định chuẩn xác theo phần Kiến thức trọng tâm: "Hai biến cố $A$ và $B$ được gọi là độc lập nếu $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ ."
- Câu 4 (C): Khẳng định đúng theo hướng dẫn trọng tâm của bài: "Đây là công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập, và cũng là dấu hiệu để nhận biết tính độc lập trong nhiều bài toán."

2. Hướng dẫn giải phần Tự luận & Thực hành

Bài 1:
- Nội dung cốt lõi cần trình bày: Hai biến cố $A$ và $B$ được gọi là độc lập nếu $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ . Nói cách khác, xác suất để cả hai biến cố cùng xảy ra bằng tích các xác suất của từng biến cố.
- Tổng kết ghi nhớ: Độc lập: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ .; Nếu $A$ , $B$ độc lập thì các cặp với biến cố đối cũng độc lập.; Chỉ dùng công thức nhân khi đã chắc hai biến cố độc lập.
Bài 2:
- Hướng dẫn phân tích & trình bày: Dựa trực tiếp vào dữ kiện trong ví dụ minh họa của tiết học: Ví dụ 1. Gieo hai con xúc xắc cân đối. Tính xác suất để cả hai con đều ra mặt $6$ .
- Lưu ý khi trình bày: Xác định rõ yêu cầu, áp dụng đúng quy tắc/khái niệm trong mục 1 và kiểm tra lại kết quả cuối cùng.
Bài 3:
- Phương pháp giải: Áp dụng các quy tắc ghi nhớ của bài Bài 30: Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập (Độc lập: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ .; Nếu $A$ , $B$ độc lập thì các cặp với biến cố đối cũng độc lập.; Chỉ dùng công thức nhân khi đã chắc hai biến cố độc lập.).
- Lời giải mẫu/Nhận xét: Lời giải: Gọi $A$ là biến cố "con thứ nhất ra mặt $6$ ", $B$ là biến cố "con thứ hai ra mặt $6$ ". Hai biến cố độc lập, $P(A) = P(B) = \frac{1}{6}$ . Vậy $P(A \cap B) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$ .
Bài 4: $3$ (phân tích: $\dfrac{(x-2)(x^2+2x+4)}{(x-2)(x+2)}$ , tại $x = 2$ bằng $\dfrac{12}{4}$ )
Bài 5: $f$ là hàm đa thức nên liên tục trên $\mathbb{R}$
Bài 6: $m = 2$ (vì $\lim_{x \to 1} \dfrac{x^2-1}{x-1} = \lim_{x \to 1}(x+1) = 2$ )

Phần 1: Câu hỏi Trắc nghiệm (Nhận biết & Thông hiểu)

P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)

Câu 2. Khi học và vận dụng bài Bài 30: Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập, khẳng định nào dưới đây là chính xác? A. Nếu

A

B

độc lập thì các cặp với biến cố đối cũng độc lập. B. Không cần đọc kĩ đề bài hay phân tích dữ kiện trước khi thực hiện các bước giải. C. Mọi khái niệm trong bài đều có thể thay thế tùy ý cho nhau mà không làm thay đổi kết quả. D. Chỉ cần ghi đáp số ngắn gọn, bỏ qua toàn bộ bước lập luận, giải thích và kiểm tra lại.

A

và

B

được gọi là độc lập nếu

P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)

. C. Thay đổi toàn bộ quy tắc trọng tâm của bài học theo cảm tính cá nhân. D. Bỏ qua việc rèn luyện qua ví dụ minh họa và bài tập thực hành của tiết học.

Phần 2: Bài tập Tự luận & Thực hành theo tiết học

Ví dụ 1. Gieo hai con xúc xắc cân đối. Tính xác suất để cả hai con đều ra mặt $6$ .

Lời giải: Gọi $A$ là biến cố "con thứ nhất ra mặt $6$ ", $B$ là biến cố "con thứ hai ra mặt $6$ ". Hai biến cố độc lập, $P(A) = P(B) = \frac{1}{6}$ . Vậy $P(A \cap B) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$ .

Bài 4 (Luyện tập học kì — Mức độ Cơ bản). Tính

\lim_{x \to 2} \dfrac{x^3-8}{x^2-4}

Bài 5 (Luyện tập học kì — Mức độ Thông hiểu). Chứng minh hàm số

f(x) = x^3 - 3x + 1

liên tục trên

\mathbb{R}

Bài 6 (Luyện tập học kì — Mức độ Vận dụng & Nâng cao). Tìm

m

để hàm số

f(x) = \dfrac{x^2-1}{x-1}

khi

x \ne 1

và

f(1) = m

liên tục tại

x = 1

Phần 3: Đáp án & Hướng dẫn giải chi tiết

1. Đáp án phần Trắc nghiệm

Bảng đáp án: 1-D, 2-A, 3-B, 4-C.

Giải thích chi tiết:

Câu 1 (D): Khẳng định đúng theo mục Ghi nhớ của bài: "Độc lập: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ ."
Câu 2 (A): Khẳng định đúng theo nội dung cốt lõi của tiết học: "Nếu $A$ , $B$ độc lập thì các cặp với biến cố đối cũng độc lập."
Câu 3 (B): Khẳng định chuẩn xác theo phần Kiến thức trọng tâm: "Hai biến cố $A$ và $B$ được gọi là độc lập nếu $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ ."
Câu 4 (C): Khẳng định đúng theo hướng dẫn trọng tâm của bài: "Đây là công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập, và cũng là dấu hiệu để nhận biết tính độc lập trong nhiều bài toán."

2. Hướng dẫn giải phần Tự luận & Thực hành

Bài 1:

Nội dung cốt lõi cần trình bày: Hai biến cố $A$ và $B$ được gọi là độc lập nếu $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ . Nói cách khác, xác suất để cả hai biến cố cùng xảy ra bằng tích các xác suất của từng biến cố.
Tổng kết ghi nhớ: Độc lập: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ .; Nếu $A$ , $B$ độc lập thì các cặp với biến cố đối cũng độc lập.; Chỉ dùng công thức nhân khi đã chắc hai biến cố độc lập.

Bài 2:

Hướng dẫn phân tích & trình bày: Dựa trực tiếp vào dữ kiện trong ví dụ minh họa của tiết học: Ví dụ 1. Gieo hai con xúc xắc cân đối. Tính xác suất để cả hai con đều ra mặt $6$ .
Lưu ý khi trình bày: Xác định rõ yêu cầu, áp dụng đúng quy tắc/khái niệm trong mục 1 và kiểm tra lại kết quả cuối cùng.

Bài 3:

Phương pháp giải: Áp dụng các quy tắc ghi nhớ của bài Bài 30: Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập (Độc lập: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ .; Nếu $A$ , $B$ độc lập thì các cặp với biến cố đối cũng độc lập.; Chỉ dùng công thức nhân khi đã chắc hai biến cố độc lập.).
Lời giải mẫu/Nhận xét: Lời giải: Gọi $A$ là biến cố "con thứ nhất ra mặt $6$ ", $B$ là biến cố "con thứ hai ra mặt $6$ ". Hai biến cố độc lập, $P(A) = P(B) = \frac{1}{6}$ . Vậy $P(A \cap B) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$ .

Bài 4:

3

(phân tích:

\dfrac{(x-2)(x^2+2x+4)}{(x-2)(x+2)}

, tại

x = 2

bằng

\dfrac{12}{4}

)

Bài 5:

f

là hàm đa thức nên liên tục trên

\mathbb{R}

Bài 6:

m = 2

(vì

\lim_{x \to 1} \dfrac{x^2-1}{x-1} = \lim_{x \to 1}(x+1) = 2

)