Bài tập — Bài 29: Công thức cộng xác suất

Phần 1: Câu hỏi Trắc nghiệm (Nhận biết & Thông hiểu)

Câu 1. Nội dung nào sau đây phản ánh đúng kiến thức cần ghi nhớ trong bài Bài 29: Công thức cộng xác suất? A. Bỏ qua các khái niệm cơ bản và chỉ học thuộc lòng kết quả cuối cùng mà không cần hiểu bản chất. B. Chỉ áp dụng kiến thức trong một trường hợp duy nhất, không cần kiểm tra điều kiện hay đơn vị. C. Công thức tổng quát: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ . D. Các nội dung trong bài hoàn toàn độc lập và không có mối liên hệ nào với thực tiễn hay các bài học khác.

Câu 2. Khi học và vận dụng bài Bài 29: Công thức cộng xác suất, khẳng định nào dưới đây là chính xác? A. Không cần đọc kĩ đề bài hay phân tích dữ kiện trước khi thực hiện các bước giải. B. Mọi khái niệm trong bài đều có thể thay thế tùy ý cho nhau mà không làm thay đổi kết quả. C. Chỉ cần ghi đáp số ngắn gọn, bỏ qua toàn bộ bước lập luận, giải thích và kiểm tra lại. D. Nếu xung khắc: $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ .

Câu 3. Theo phần Kiến thức trọng tâm của bài Bài 29: Công thức cộng xác suất, phát biểu nào sau đây là đúng? A. Công thức cộng xác suất cho hai biến cố $A$ và $B$ bất kì là: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ . B. Kết luận ngay kết quả khi chưa đối chiếu với quy tắc hoặc định nghĩa trong bài học. C. Thay đổi toàn bộ quy tắc trọng tâm của bài học theo cảm tính cá nhân. D. Bỏ qua việc rèn luyện qua ví dụ minh họa và bài tập thực hành của tiết học.

Câu 4. Để nắm vững và vận dụng tốt bài Bài 29: Công thức cộng xác suất, học sinh cần lưu ý điều nào sau đây? A. Không cần ghi nhớ các lưu ý trọng tâm vì chúng không ảnh hưởng đến việc làm bài tập. B. Nếu $A$ và $B$ xung khắc, tức $A \cap B = \varnothing$ thì $P(A \cap B) = 0$ , công thức trở thành $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ . C. Áp dụng ngược lại hoàn toàn so với quy tắc và hướng dẫn trong phần kiến thức trọng tâm. D. Chỉ cần đọc lướt tiêu đề bài học mà không cần nắm vững nội dung chi tiết từng mục.

Phần 2: Bài tập Tự luận & Thực hành theo tiết học

Bài 1 (Cơ bản — Hệ thống hóa kiến thức trọng tâm). Dựa vào phần Kiến thức trọng tâm của bài Bài 29: Công thức cộng xác suất, em hãy trình bày các khái niệm, quy tắc hoặc nội dung cốt lõi của tiết học và nêu ý nghĩa của chúng.

Bài 2 (Thực hành — Phân tích & Giải mẫu theo ví dụ tiết học). Đọc kĩ tình huống/ví dụ trọng tâm của tiết học dưới đây, sau đó tự trình bày lại các bước thực hiện và nêu nhận xét rút ra:

Ví dụ 1. Gieo một con xúc xắc cân đối. Tính xác suất để mặt xuất hiện là chẵn hoặc lớn hơn $4$ .

Bài 3 (Vận dụng — Áp dụng quy tắc ghi nhớ vào bài tập). Vận dụng các điểm ghi nhớ trọng tâm của bài Bài 29: Công thức cộng xác suất để giải thích hoặc thực hiện yêu cầu thực hành mở rộng sau:

Lời giải: Gọi $A$ là biến cố "mặt chẵn", $B$ là biến cố "mặt lớn hơn $4$ ". Ta có $P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ , $P(B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ , $P(A \cap B) = P({6}) = \frac{1}{6}$ . Vậy $P(A \cup B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{6} = \frac{2}{3}$ .

Bài 4 (Luyện tập học kì — Mức độ Cơ bản). Tính $\lim_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}$ .

Bài 5 (Luyện tập học kì — Mức độ Thông hiểu). Tính $\lim_{x \to 0} \dfrac{1-\cos 2x}{x^2}$ .

Bài 6 (Luyện tập học kì — Mức độ Vận dụng & Nâng cao). Tính $\lim \left(\sqrt{4n^2+1} - 2n\right)$ .

Phần 3: Đáp án & Hướng dẫn giải chi tiết

1. Đáp án phần Trắc nghiệm

Bảng đáp án: 1-C, 2-D, 3-A, 4-B.
Giải thích chi tiết:
- Câu 1 (C): Khẳng định đúng theo mục Ghi nhớ của bài: "Công thức tổng quát: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ ."
- Câu 2 (D): Khẳng định đúng theo nội dung cốt lõi của tiết học: "Nếu xung khắc: $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ ."
- Câu 3 (A): Khẳng định chuẩn xác theo phần Kiến thức trọng tâm: "Công thức cộng xác suất cho hai biến cố $A$ và $B$ bất kì là: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ ."
- Câu 4 (B): Khẳng định đúng theo hướng dẫn trọng tâm của bài: "Nếu $A$ và $B$ xung khắc, tức $A \cap B = \varnothing$ thì $P(A \cap B) = 0$ , công thức trở thành $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ ."

2. Hướng dẫn giải phần Tự luận & Thực hành

Bài 1:
- Nội dung cốt lõi cần trình bày: Công thức cộng xác suất cho hai biến cố $A$ và $B$ bất kì là: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ . Số hạng trừ $P(A \cap B)$ có mặt vì phần giao đã được đếm hai lần, một lần trong $P(A)$ và một lần trong $P(B)$ .
- Tổng kết ghi nhớ: Công thức tổng quát: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ .; Nếu xung khắc: $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ .; Biến cố đối: $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$ — hữu ích với bài toán "ít nhất một".
Bài 2:
- Hướng dẫn phân tích & trình bày: Dựa trực tiếp vào dữ kiện trong ví dụ minh họa của tiết học: Ví dụ 1. Gieo một con xúc xắc cân đối. Tính xác suất để mặt xuất hiện là chẵn hoặc lớn hơn $4$ .
- Lưu ý khi trình bày: Xác định rõ yêu cầu, áp dụng đúng quy tắc/khái niệm trong mục 1 và kiểm tra lại kết quả cuối cùng.
Bài 3:
- Phương pháp giải: Áp dụng các quy tắc ghi nhớ của bài Bài 29: Công thức cộng xác suất (Công thức tổng quát: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ .; Nếu xung khắc: $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ .; Biến cố đối: $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$ — hữu ích với bài toán "ít nhất một".).
- Lời giải mẫu/Nhận xét: Lời giải: Gọi $A$ là biến cố "mặt chẵn", $B$ là biến cố "mặt lớn hơn $4$ ". Ta có $P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ , $P(B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ , $P(A \cap B) = P({6}) = \frac{1}{6}$ . Vậy $P(A \cup B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{6} = \frac{2}{3}$ .
Bài 4: $\dfrac{1}{4}$ (nhân liên hợp: $\dfrac{1}{\sqrt{x+3}+2}$ )
Bài 5: $2$ (vì $1 - \cos 2x = 2\sin^2 x$ )
Bài 6: $0$ (nhân liên hợp: $\dfrac{1}{\sqrt{4n^2+1}+2n}$ )

Phần 1: Câu hỏi Trắc nghiệm (Nhận biết & Thông hiểu)

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

. D. Các nội dung trong bài hoàn toàn độc lập và không có mối liên hệ nào với thực tiễn hay các bài học khác.

P(A \cup B) = P(A) + P(B)

Câu 3. Theo phần Kiến thức trọng tâm của bài Bài 29: Công thức cộng xác suất, phát biểu nào sau đây là đúng? A. Công thức cộng xác suất cho hai biến cố

A

và

B

bất kì là:

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

. B. Kết luận ngay kết quả khi chưa đối chiếu với quy tắc hoặc định nghĩa trong bài học. C. Thay đổi toàn bộ quy tắc trọng tâm của bài học theo cảm tính cá nhân. D. Bỏ qua việc rèn luyện qua ví dụ minh họa và bài tập thực hành của tiết học.

A

và

B

xung khắc, tức

A \cap B = \varnothing

thì

P(A \cap B) = 0

, công thức trở thành

P(A \cup B) = P(A) + P(B)

. C. Áp dụng ngược lại hoàn toàn so với quy tắc và hướng dẫn trong phần kiến thức trọng tâm. D. Chỉ cần đọc lướt tiêu đề bài học mà không cần nắm vững nội dung chi tiết từng mục.

Phần 2: Bài tập Tự luận & Thực hành theo tiết học

Ví dụ 1. Gieo một con xúc xắc cân đối. Tính xác suất để mặt xuất hiện là chẵn hoặc lớn hơn $4$ .

Lời giải: Gọi $A$ là biến cố "mặt chẵn", $B$ là biến cố "mặt lớn hơn $4$ ". Ta có $P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ , $P(B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ , $P(A \cap B) = P({6}) = \frac{1}{6}$ . Vậy $P(A \cup B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{6} = \frac{2}{3}$ .

Bài 4 (Luyện tập học kì — Mức độ Cơ bản). Tính

\lim_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}

Bài 5 (Luyện tập học kì — Mức độ Thông hiểu). Tính

\lim_{x \to 0} \dfrac{1-\cos 2x}{x^2}

Bài 6 (Luyện tập học kì — Mức độ Vận dụng & Nâng cao). Tính

\lim \left(\sqrt{4n^2+1} - 2n\right)

Phần 3: Đáp án & Hướng dẫn giải chi tiết

1. Đáp án phần Trắc nghiệm

Bảng đáp án: 1-C, 2-D, 3-A, 4-B.

Giải thích chi tiết:

Câu 1 (C): Khẳng định đúng theo mục Ghi nhớ của bài: "Công thức tổng quát: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ ."
Câu 2 (D): Khẳng định đúng theo nội dung cốt lõi của tiết học: "Nếu xung khắc: $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ ."
Câu 3 (A): Khẳng định chuẩn xác theo phần Kiến thức trọng tâm: "Công thức cộng xác suất cho hai biến cố $A$ và $B$ bất kì là: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ ."
Câu 4 (B): Khẳng định đúng theo hướng dẫn trọng tâm của bài: "Nếu $A$ và $B$ xung khắc, tức $A \cap B = \varnothing$ thì $P(A \cap B) = 0$ , công thức trở thành $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ ."

2. Hướng dẫn giải phần Tự luận & Thực hành

Bài 1:

Nội dung cốt lõi cần trình bày: Công thức cộng xác suất cho hai biến cố $A$ và $B$ bất kì là: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ . Số hạng trừ $P(A \cap B)$ có mặt vì phần giao đã được đếm hai lần, một lần trong $P(A)$ và một lần trong $P(B)$ .
Tổng kết ghi nhớ: Công thức tổng quát: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ .; Nếu xung khắc: $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ .; Biến cố đối: $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$ — hữu ích với bài toán "ít nhất một".

Bài 2:

Hướng dẫn phân tích & trình bày: Dựa trực tiếp vào dữ kiện trong ví dụ minh họa của tiết học: Ví dụ 1. Gieo một con xúc xắc cân đối. Tính xác suất để mặt xuất hiện là chẵn hoặc lớn hơn $4$ .
Lưu ý khi trình bày: Xác định rõ yêu cầu, áp dụng đúng quy tắc/khái niệm trong mục 1 và kiểm tra lại kết quả cuối cùng.

Bài 3:

Phương pháp giải: Áp dụng các quy tắc ghi nhớ của bài Bài 29: Công thức cộng xác suất (Công thức tổng quát: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ .; Nếu xung khắc: $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ .; Biến cố đối: $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$ — hữu ích với bài toán "ít nhất một".).
Lời giải mẫu/Nhận xét: Lời giải: Gọi $A$ là biến cố "mặt chẵn", $B$ là biến cố "mặt lớn hơn $4$ ". Ta có $P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ , $P(B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ , $P(A \cap B) = P({6}) = \frac{1}{6}$ . Vậy $P(A \cup B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{6} = \frac{2}{3}$ .

Bài 4:

\dfrac{1}{4}

(nhân liên hợp:

\dfrac{1}{\sqrt{x+3}+2}

)

Bài 5:

2

(vì

1 - \cos 2x = 2\sin^2 x

)

Bài 6:

0

(nhân liên hợp:

\dfrac{1}{\sqrt{4n^2+1}+2n}

)