Bài 33: Đạo hàm cấp hai

1. Kiến thức trọng tâm

Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $y' = f'(x)$. Nếu hàm số $f'(x)$ lại có đạo hàm thì đạo hàm đó được gọi là đạo hàm cấp hai của $f$, kí hiệu $f''(x)$ hay $y''$. Tức là $f''(x) = (f'(x))'$. Tương tự, ta có đạo hàm cấp ba $f'''(x)$, đạo hàm cấp bốn, và đạo hàm cấp $n$, kí hiệu $f^{(n)}(x)$.

Ý nghĩa vật lí của đạo hàm cấp hai rất quan trọng: nếu $s = s(t)$ là phương trình chuyển động thì vận tốc tức thời là $v(t) = s'(t)$ và gia tốc tức thời là $a(t) = v'(t) = s''(t)$. Như vậy, đạo hàm cấp hai của quãng đường theo thời gian chính là gia tốc. Ý nghĩa hình học: dấu của $f''(x)$ cho biết tính lồi, lõm của đồ thị; điểm mà tại đó $f''$ đổi dấu gọi là điểm uốn của đồ thị.

Để tính đạo hàm cấp hai, ta tính đạo hàm cấp một rồi lấy đạo hàm của kết quả đó một lần nữa, áp dụng các quy tắc tính đạo hàm đã học. Cần cẩn thận với hàm hợp và hàm phân thức, vì sai sót ở đạo hàm cấp một sẽ kéo theo sai sót ở đạo hàm cấp hai.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính đạo hàm cấp hai của $f(x) = x^4 - 3x^2 + 2$.

Lời giải: Đạo hàm cấp một: $f'(x) = 4x^3 - 6x$. Đạo hàm cấp hai: $f''(x) = 12x^2 - 6$.

Ví dụ 2. Một chất điểm chuyển động với phương trình $s(t) = 2t^3 - 3t^2 + 5t + 1$ (mét, giây). Tính gia tốc tại thời điểm $t = 2$ giây.

Lời giải: Vận tốc $v(t) = s'(t) = 6t^2 - 6t + 5$. Gia tốc $a(t) = v'(t) = s''(t) = 12t - 6$. Tại $t = 2$: $a(2) = 12 \cdot 2 - 6 = 18$ (m/s²).

Ví dụ 3. Với $f(x) = \sin x$, ta có $f'(x) = \cos x$ và $f''(x) = -\sin x$.

3. Ghi nhớ

• Đạo hàm cấp hai: $f''(x) = (f'(x))'$.
• Ý nghĩa vật lí: $a(t) = s''(t)$ — đạo hàm cấp hai của quãng đường là gia tốc.
• Tính tuần tự: đạo hàm cấp một trước, rồi đạo hàm tiếp kết quả.
• Dấu của $f''$ liên quan đến tính lồi, lõm của đồ thị.