Bài 32: Các quy tắc tính đạo hàm

1. Kiến thức trọng tâm

Các quy tắc tính đạo hàm giúp ta tính đạo hàm của hàm số mà không cần dùng định nghĩa giới hạn. Với $u$ và $v$ là các hàm số có đạo hàm, $C$ là hằng số, ta có: $(u + v)' = u' + v'$ ; $(u - v)' = u' - v'$ ; $(Cu)' = Cu'$ ; $(u \cdot v)' = u'v + uv'$ ; $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ với $v \ne 0$ . Đặc biệt, $\left(\frac{1}{v}\right)' = -\frac{v'}{v^2}$ .

Đạo hàm của một số hàm cơ bản: $(C)' = 0$ ; $(x)' = 1$ ; $(x^n)' = n x^{n-1}$ với $n$ nguyên dương; $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ với $x > 0$ ; $(\sin x)' = \cos x$ ; $(\cos x)' = -\sin x$ ; $(\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$ với $\cos x \ne 0$ ; $(\cot x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$ với $\sin x \ne 0$ ; $(e^x)' = e^x$ ; $(\ln x)' = \frac{1}{x}$ với $x > 0$ .

Quy tắc đạo hàm của hàm hợp: nếu $y = f(u)$ và $u = g(x)$ thì $y' = f'(u) \cdot u'$ . Ví dụ: $(\sin 2x)' = 2\cos 2x$ ; $(e^{3x})' = 3e^{3x}$ . Khi tính đạo hàm hàm hợp, phải nhân thêm đạo hàm của hàm trong, đây là lỗi hay gặp nhất.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính đạo hàm của $y = x^3 - 2x^2 + 5x - 1$ .

Lời giải: $y' = 3x^2 - 4x + 5$ .

Ví dụ 2. Tính đạo hàm của $y = \frac{x^2 + 1}{x}$ .

Lời giải: Dùng quy tắc thương: $y' = \frac{2x \cdot x - (x^2 + 1) \cdot 1}{x^2} = \frac{x^2 - 1}{x^2} = 1 - \frac{1}{x^2}$ .

Ví dụ 3. Tính đạo hàm của $y = \sin(3x + 1)$ .

Lời giải: Đây là hàm hợp với $u = 3x + 1$ , $u' = 3$ . Vậy $y' = 3\cos(3x + 1)$ .

3. Ghi nhớ

Thuộc bảng đạo hàm của các hàm cơ bản.
Quy tắc tích: $(uv)' = u'v + uv'$ ; quy tắc thương: $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ .
Hàm hợp: nhớ nhân thêm đạo hàm của hàm trong.
Đạo hàm của hằng số bằng $0$ .

1. Kiến thức trọng tâm

Các quy tắc tính đạo hàm giúp ta tính đạo hàm của hàm số mà không cần dùng định nghĩa giới hạn. Với

u

và

v

là các hàm số có đạo hàm,

C

là hằng số, ta có:

(u + v)' = u' + v'

;

(u - v)' = u' - v'

;

(Cu)' = Cu'

;

(u \cdot v)' = u'v + uv'

;

\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}

với

v \ne 0

. Đặc biệt,

\left(\frac{1}{v}\right)' = -\frac{v'}{v^2}

Đạo hàm của một số hàm cơ bản:

(C)' = 0

;

(x)' = 1

;

(x^n)' = n x^{n-1}

với

n

nguyên dương;

(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}

với

x &gt; 0

;

(\sin x)' = \cos x

;

(\cos x)' = -\sin x

;

(\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x}

với

\cos x \ne 0

;

(\cot x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}

với

\sin x \ne 0

;

(e^x)' = e^x

;

(\ln x)' = \frac{1}{x}

với

x &gt; 0

Quy tắc đạo hàm của hàm hợp: nếu

y = f(u)

và

u = g(x)

thì

y' = f'(u) \cdot u'

. Ví dụ:

(\sin 2x)' = 2\cos 2x

;

(e^{3x})' = 3e^{3x}

. Khi tính đạo hàm hàm hợp, phải nhân thêm đạo hàm của hàm trong, đây là lỗi hay gặp nhất.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính đạo hàm của

y = x^3 - 2x^2 + 5x - 1

Lời giải:

y' = 3x^2 - 4x + 5

Ví dụ 2. Tính đạo hàm của

y = \frac{x^2 + 1}{x}

Lời giải: Dùng quy tắc thương:

y' = \frac{2x \cdot x - (x^2 + 1) \cdot 1}{x^2} = \frac{x^2 - 1}{x^2} = 1 - \frac{1}{x^2}

Ví dụ 3. Tính đạo hàm của

y = \sin(3x + 1)

Lời giải: Đây là hàm hợp với

u = 3x + 1

u' = 3

. Vậy

y' = 3\cos(3x + 1)

3. Ghi nhớ

Thuộc bảng đạo hàm của các hàm cơ bản.

Quy tắc tích:

(uv)' = u'v + uv'

; quy tắc thương:

\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}

Hàm hợp: nhớ nhân thêm đạo hàm của hàm trong.

Đạo hàm của hằng số bằng

0